UFD implica noetherian?

Question

Es fácil demostrar que un PID debe ser noetheriano. Mi pregunta es:

¿Implica UFD noetheriana? Si no, ¿hay un contraejemplo fácil?

Pido disculpas si esto resulta ser una pregunta simple. ¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Dado que cualquier$\,f\in k[X_1,X_2,\ldots]\;$ es un polinomio en un número finito de indeterminados $\,X_{i_1},\ldots, X_{i_n}\,$, entonces, de hecho,$\,f\in k[X_{i_1},\ldots,X_{i_n}]\;$ y esta última es una UFD cuando$\,k\,$ es (de hecho, esto es un Si la reclamación).

Claramente, sin embargo,$\,k[X_1,\ldots]\;$ no es noetheriano ya que el ideal apropiado$\,\langle X_1,\ldots\rangle\;$ no se genera de manera definitiva.