valor esperado de números consecutivos

Question

Seleccionamos aleatoriamente un subconjunto $\mathit S$ de tamaño 25 del conjunto $\{ 1,2,...,100\}$ , ¿cuál es el valor esperado del número de números consecutivos en $\mathit S$ ?

Los números consecutivos en $\mathit S$ : es un par $\{ i,i+1\}$ donde i $\in$$\mathit S$ e i +1 $\in$$\mathit S$ .

Answer 1

La linealidad de la expectativa es la clave. Hay 99 pares consecutivos, cada uno con un $\frac{\binom{98}{23}}{\binom{100}{25}}=\frac{25×24}{100×99}$ de probabilidad de ser seleccionado. Por lo tanto, el número esperado de pares consecutivos es $\frac{25×24×99}{100×99}=6$ .