Informática integral utilizando métodos de análisis complejos.

Question

Estoy tratando de calcular la integral

$$ \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ ln (x)} {x ^ 2 + 1} \, dx $$

utilizando métodos de análisis complejos. Sin embargo, aún no hemos aprendido el cálculo de residuos, solo contorneamos las integrales a través de la fórmula integral de Cauchy.

Estoy tratando de usar un semicírculo centrado en el origen del radio$R$ y luego dejo que$R$ tiende a infinito, pero hay una singularidad definida para la función$\ln(x)$. ¿Alguien tiene alguna sugerencia?

Answer 1

No es necesario utilizar métodos de análisis complejos para resolver este problema. Solo necesitas $x\to\frac{1}{x}$. De hecho, dejar que$u=\frac{1}{x}$ le dé$$ \int_1^\infty\frac{\ln x}{1+x^2}dx=\int_1^0\frac{\ln \frac{1}{u}}{1+\frac{1}{u^2}}(-\frac{du}{u^2})=-\int_0^1\frac{\ln u}{1+u^2}du. $ $ Así que$$ \int_0^\infty\frac{\ln x}{1+x^2}dx=\int_0^1\frac{\ln x}{1+x^2}dx+\int_1^\infty\frac{\ln x}{1+x^2}dx=\int_0^1\frac{\ln x}{1+x^2}dx-\int_0^1\frac{\ln u}{1+u^2}du=0. $ $

Answer 2

Una forma de hacer esto sería considerar la integral$$ \int_C \frac{(\log z)^2}{1+z^2}dz $$ where $ C$ is the keyhole contour. By standard estimates, the integral on the outer ($ R$) and inner ($ r$) circular parts of the contour would be zero when we consider limiting values of $ R$ and $ r$. For the horizontal segment above the real axis you will get $ \ frac {(\ log z) ^ 2} {1 + z ^ 2} = \ frac {(\ log | x |) ^ 2} {1 + x ^ 2} $. Para el segmento horizontal debajo del eje real, tendrá$$ \frac{(\log z)^2}{1+z^2} = \frac{(\log|x|+2\pi i)^2}{1+x^2}= \frac{(\log|x|)^2 -4\pi^2 + 4\pi i log|x|}{1+x^2} $ $ donde usamos la rama$0 < \arg z < 2\pi $. Dado que los límites de integración se invertirán para los dos segmentos horizontales, por lo tanto, quedará con la integral deseada, el residuo de$\frac{(\log z)^2}{1+z^2}$ en$z = \pm i$ y una integral estándar:$\int_0^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$.