¿Cómo probar$\int_0^\infty \frac{e^{-x-1/x}}{x \sqrt{x}} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{e^2}$?

Question

Entré en esta integración, $$\int_0^\infty \frac{e^{-x-1/x}}{x \sqrt{x}} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{e^2}$ $ Wolfram Online Integral Calculator da el resultado anterior sin proceso. ¿Puedo saber cómo derivar el resultado?

Answer 1

Después de dejar que $x=1/s^2$ obtengamos $$ \begin{align}\int_0^\infty \frac{e^{-x-1/x}}{x \sqrt{x}} dx&=2\int_0^\infty e^{-s^2-1/s^2} ds=\frac{2}{e^2}\int_0^\infty e^{-(s-1/s)^2} ds\\ &=\frac{1}{e^2}\int_{-\infty}^\infty e^{-(s-1/s)^2} ds=\frac{1}{e^2}\int_{-\infty}^\infty e^{-s^2} ds=\frac{\sqrt{\pi}}{e^2}\end {align} $$ donde usamos los últimos dos pasos Cómo probar $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty} f\left(x - \frac{1}{x}\right)dx?$ y luego la integral gaussiana .

Answer 2

Deje $u=x-\frac1x$. A continuación, $\mathrm{d}u=\left(1+\frac1{x^2}\right)\mathrm{d}x$ $$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{e^{-x-1/x}}{x\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x &=2\int_0^\infty\frac{e^{-x^2-1/x^2}}{x^2}\,\mathrm{d}x\tag1\\ &=2\int_0^\infty e^{-x^2-1/x^2}\,\mathrm{d}x\tag2\\ &=\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2-2}\,\mathrm{d}u\tag3\\ &=\frac{\sqrt\pi}{e^2}\tag4 \end{align} $$ Explicación:
$(1)$: sustituto $x\mapsto x^2$
$(2)$: sustituto $x\mapsto 1/x$
$(3)$: promedio de $(1)$ e $(2)$ , y el sustituto de $u=x-1/x$
$(4)$: $\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2}\,\mathrm{d}u=\sqrt\pi$