¿Existe un símbolo para "igual si está definido"?

Question

¿Puede alguien recomendar un símbolo para "igual si se define" como un asimétrico ¿concepto?

En contextos en los que se puede escribir la notación de una cantidad indefinida (como $1/x$ cuando $x$ puede ser $0$ ), a veces la gente usa el símbolo de igualdad para significar que si cualquiera de los lados está definido, entonces también lo está el otro, y entonces son iguales; y a veces la gente lo usa para significar que si ambos lados están definidos, entonces son iguales. A veces lo utilizan junto con un símbolo variante con el otro significado. Estos son no los significados que quiero.

Quiero un símbolo que diga que si el lado izquierdo está definido, entonces también lo está el lado derecho, y entonces son iguales. O un símbolo que signifique que si el lado derecho está definido, entonces también lo está el lado izquierdo, y entonces son iguales. En cualquier caso, el significado es asimétrico. Preferiblemente un símbolo que sea a su vez asimétrico izquierda-derecha, de modo que el símbolo inverso tenga el significado inverso.

Ejemplos de uso: En álgebra, cuando escribimos que $(x^2 - 1)/(x^2 - x) = (x + 1)/x$ lo que realmente queremos decir es que si $(x^2 - 1)/(x^2 - x)$ se define, entonces $(x + 1)/x$ también se define y entonces $(x^2 - 1)/(x^2 - x)$ es igual a $(x + 1)/x$ . Sin embargo, si $(x^2 - 1)/(x^2 - x)$ es indefinido, entonces no estamos afirmando que sea igual a nada, y tampoco estamos diciendo si $(x + 1)/x$ se define.

En el cálculo, cuando escribimos que $\lim_{x \to c}(f(x) + g(x)) = \lim(f(x)) + \lim(g(x))$ lo que realmente queremos decir es que si $\lim(f(x)) + \lim(g(x))$ se define, entonces $\lim(f(x) + g(x))$ también se define y entonces $\lim(f(x) + g(x))$ es igual a $\lim(f(x)) + \lim(g(x))$ . Sin embargo, si $\lim(f(x)) + \lim(g(x))$ es indefinido, entonces no estamos afirmando que nada sea igual a él, y tampoco estamos diciendo si $\lim(f(x) + g(x))$ se define.

Por supuesto, siempre se puede escribir "si el lado izquierdo está definido" después de la ecuación, o algo así. Pero quiero un símbolo que pueda utilizar con una cadena de igualdades condicionales (todas en la misma dirección) en el curso de un argumento para establecer una igualdad condicional global. Ejemplo: $\lim_{x \to 5}(x^2 + 6) = \lim(x^2) + \lim(6) = \lim(x)^2 + 6 = 5^2 + 6 = 31$ En cada etapa utilizo una regla básica de límites en el curso del cálculo. Al final, concluyo que si $31$ está definido (que lo está), entonces $\lim(x^2 + 6)$ se define y es igual a $31$ (que lo hace).

Por supuesto, puedo inventarme un símbolo, pero si alguien ya se ha inventado uno y lo ha utilizado con éxito (ya sea en un contexto lógico formal o de manera informal como estaba haciendo yo más arriba), me gustaría que me lo contara.

Answer 1

En cuanto a las funciones, ten en cuenta que ya tenemos un símbolo para ello (procedente de la teoría de conjuntos): " $\subseteq$ ¡"! Si $f$ y $g$ son funciones parciales, identificarlas con sus gráficas significa que podemos escribir " $f\subseteq g$ " para significar " $f(x)=g(x)$ siempre que $f(x)$ se define".

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En términos más generales (o en contextos en los que imponer la teoría de conjuntos podría ser indeseable), he aquí una posible recomendación:

Primero, la versión simétrica. No sé cómo de común es esto en otros lugares, pero en la teoría de la computabilidad, a menudo escribimos $$x\simeq y$$ si $x$ y $y$ son expresiones que o bien no están definidas, o bien están definidas y son iguales. (En ocasiones, " $\cong$ " en lugar de " $\simeq$ ," pero prefiero " $\simeq$ " ya que (al menos dentro de la teoría de la computabilidad) se utiliza menos para el isomorfismo).

Para la versión asimétrica, recomendaría " $\gtrsim$ " en analogía con " $\simeq$ ." Pero no he visto eso antes, así que no sé si se usa comúnmente; es sólo lo que me parece la opción natural.

Answer 2

Pues bien, creo que la respuesta parece ser que no, que no existe tal símbolo de uso estándar en ningún contexto. Más bien es una pena. Tal vez podamos inventar uno.