He encontrado la noción de mónada a ser altamente no-intuitivo así, hasta que me enteré de Lawvere teorías.
Un Lawvere teoría es una categoría pequeña de tal manera que cada objeto es isomorfo a un producto $x^n$ algunos $n \in \mathbb N$ y un único objeto $x$. Llamamos a un $x$ un objeto genérico. Ahora un Lawvere teoría es exclusivamente especificados por la definición de los conjuntos de $hom(x^n,x)$ (a partir de morfismos en $x^m$ es lo mismo que $m$ morfismos en $x$). Usted debe pensar de un elemento en $hom(x^n,x)$ como un resumen de $n$-ary operación.
Una $\textit{algebra}$ para un Lawvere teoría de la $L$ es un producto de la preservación de functor de Conjuntos, $F : L \rightarrow \text{Sets}$. Una de morfismos entre el $L$-álgebras es una transformación natural entre ellos.
Permítanme explicar esto un poco más: un functor está determinada únicamente en los objetos por donde se asigna el objeto genérico $x$, ya que el $F(x^n) \cong F(x)^n$. Por lo tanto, es la misma cosa que un conjunto equipado con conjuntos de $n$-ary operaciones, con ecuacional reglas entre ellos, dado por la Lawvere teoría de la $L$.
Ejemplos
- Tomar el opuesto de la categoría de conjuntos finitos, $\text{FinSet}^{op}$. Ya que cada conjunto finito es finito, subproducto de conjuntos con un elemento único, este es un Lawvere teoría. Un producto preservar functor es determinada únicamente por el conjunto de $F(\left\{\star\right\})$, $\left\{\star\right\}$ ser un conjunto con un solo elemento. Por lo tanto la categoría de $\text{FinSet}^{op}$ álgebras es el mismo que $\text{Set}$.
- Definir $hom(x^n,x)$ $R[X_1,...,X_n]$ por un anillo conmutativo $R$. La categoría de álgebras de este Lawvere teoría es equivalente a la categoría de $R$-álgebras.
- Tome su definición favorita de un grupo. El opuesto de la categoría de finitely libres generados por los grupos con el grupo homorphisms entre ellos es un Lawvere teoría. La resultante de la categoría de álgebras es equivalente a la categoría de grupos.
- En general, cualquier variedad algebraica (en el álgebra universal sentido) corresponde a un Lawvere teoría (no entraré en detalles aquí).
Ahora, dado un Lawvere teoría de la $L$, lo representable functors $hom(x^n,-)$ conservar los productos, de ahí que se $L$-álgebras. Son los llamados objetos libres en $n$ generadores y representan exactamente que en cada uno de los ejemplos de arriba. Por el Yoneda la incrustación, la libre álgebras de forma completa subcategoría equivalente a $L^{op}$.
Con lo anterior en mente, se obtiene un functor $\text{FinSet} \rightarrow \text{Sets}$ mediante la asignación de un $n$-elemento del conjunto a $hom(x^n,x)$ (Algo en que pensar: ¿Qué es una forma natural para definir su acción en los morfismos?). Mediante el uso de coends, obtenemos un functor $M : \text{Sets} \rightarrow \text{Sets}$ [intuitivamente: Escriba cada conjunto dirigido colimit finito de conjuntos y se extienden por la preservación de colimits]. Esta es una mónada.
Ahora hay algo parecido a la inversa: Finitary mónadas corresponden únicamente a Lawvere teorías. Como se ve en el ejemplo de grupo, a sabiendas de la libre grupos (y sus homomorphisms) es suficiente para reconstruir la totalidad de la categoría.
Uno de los principales puntos acerca de esto es que es fácil mirar a álgebras de un Lawvere teoría en cualquier otra categoría. Se puede comprobar que la definición estándar de un grupo de objetos en una categoría $C$ finitos productos es lo mismo que decir que un objeto de grupo es un producto de la preservación de functor $L_{Groups} \rightarrow C$. Y hay generalizaciones para monoidal categorías con lax monoidal functors, etc, pero de nuevo no entraré en detalle aquí.
La otra es que el uso de Lawvere teorías libera a partir de las definiciones de objetos algebraicos utilizando $\textit{specific}$ operaciones. La definición clásica de un grupo implica una $0$-ary, un unarios y binarios de la operación, pero nada en particular es especial acerca de ellos para que cumplan con realizar determinados cálculos y pruebas acerca de los grupos fáciles y otros difíciles. La situación es un poco como colectores, donde coordinar los gráficos se utilizan para definir y, a veces, calcular cosas, pero al final del día no son intrínsecas y realmente no importa lo que usted utiliza. De la misma manera las representaciones en términos de un conjunto de ecuaciones y operaciones entre ellos todavía son útiles, pero no fundamental.
Las mónadas son un poco más general, pero que tienen las mismas características generales. Otro concepto relacionado es el de operads.
Si desea leer más acerca de todo esto, recomiendo Qiaochu del blog y de los muchos recursos en este desbordamiento de la pregunta.
