Diferenciación bajo integración.

Question

Sé que hay otras preguntas similares sobre este tema, pero me pregunto si hay algún tipo de método general para elegir dónde colocar mis parámetros en la integral.

Por ejemplo,$$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx\;,$$ how does one know to add a parameter like $ e ^ {- ax}$ to $$\int_{0}^{\infty}e^{-ax} \frac{\sin(x)}{x} dx\;?$ $

Wikiapedia tiene una lista no exhaustiva de problemas como este: ver enlace .

Pero no sé cómo en la tierra se les ocurren esos métodos locos.

Answer 1

Uno de los problemas con$$\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\ dx$$ is that it only converges conditionally, which makes differentiation under the integral quite delicate. Thus you might have tried $$\int_0^\infty \frac{\sin(ax)}{x}\ dx$$ where again taking the derivative of the integrand with respect to the parameter gets rid of the $ x$ in the denominator, but this is not good because $ \ int_0 ^ \ infty \ sin (ax) \ dx$ diverges. You want to put in a factor that improves the convergence, and $ e ^ {-ax} $ hace eso.