$\{(x,y):x\in{U},y>f(x)\}$ es un subconjunto abierto de$\mathbb{R}^{n+1}$

Question

Sea$f$ una función continua de valores reales definida en un subconjunto abierto$U$ de$\mathbb{R}^n$.

Muestre que$\{(x,y):x\in{U},y>f(x)\}$ es un subconjunto abierto de$\mathbb{R}^{n+1}$

Sabía que$f(x)$ está abierto usando el teorema del equivalente entre$f$ mapeo$S$ es un subconjunto de$\mathbb{R}^n$ y$f$ es continuo en$S$. $f$ define en$U$ por lo tanto$f(x)$ está abierto de$\mathbb{R}^n$.

Ahora, quiero saber cómo probar que$f(x)$ es un subconjunto abierto de$\mathbb{R}^{n+1}$.

Gracias.

Answer 1

Se están mezclando las cosas un poco, creo. Cuando escribe "teorema de equivalentes entre los $f$ [...]" probablemente significa

Teorema. Para un mapa de $f \colon S \to T$ entre espacios métricos los siguientes son equivalentes
(1) $f$ es continua
(2) preimages de abrir establece en $T$ están abiertas en $S$, que es para abrir $U \subseteq T$, $f^{-1}[U] \subseteq S$ está abierto.

Es una buena idea para aplicar esta aquí para mostrar que el epígrafe $$ \def\epi{\mathop{\rm epi}}\def\R{\mathbb R}\epi(f) = \{(x,y) \in \R^{n+1} \mid y > f(x) \} $$ de un continuo $f \colon U \subseteq \R^n \to \R$ está abierto. Desea $\epi(f)$ abierto, no $f$ ($f$ está abierto un mapa es algo diferente y si nos identificamos $f$ con su gráfica, a continuación, $f$ es cerrado en $U \times \R$, no abierto). A tal fin, considerar la posibilidad de $g \colon U \times R \to \R$, $(x,y) \mapsto y - f(x)$. A continuación, $\epi(f) = g^{-1}[(0,\infty)]$ está abierto en $U \times \R$ $U \times \R$ es abierto en $\R^{n+1}$, $\epi(f)$ es también.

Answer 2

Probemos esto desde cero, es decir, sin apelar a los "teoremas generales".

Tenemos que demostrar que el conjunto$$\Omega:=\{({\bf x},y)\ |\ {\bf x}\in U, \ y>f({\bf x})\}\subset{\mathbb R}^{n+1}$ $ está abierto. Para este fin, considere un punto$$({\bf x}_0,y_0)\in\Omega\ .$ $ Luego$y_0=f({\bf x}_0)+2\epsilon$ para algunos$\epsilon>0$. Dado que$U\subset{\mathbb R}^n$ está abierto y$f$ es continuo en${\bf x}_0$, hay un disco abierto$D$ con el centro${\bf x}_0$ tal que$D\subset U$, y ese$$f({\bf x})<f({\bf x}_0)+\epsilon$ $ para todos${\bf x}\in D$. De ello se deduce que$$y-f({\bf x})>0\qquad\forall {\bf x}\in D,\quad \forall y>y_0-\epsilon\ ,$ $ y esto implica que el "cuadro de sombrero"$$B:=D\times\ ]y_0-\epsilon,\ y_0+\epsilon[$ $ con el centro$({\bf x}_0,y_0)$ es un subconjunto de$\Omega$.