Estoy tratando de mostrar que $$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x} = -\frac{e}{2}$$
Al principio parecía una rutina de aplicación de L'Hospital de la regla, pero mi estándar de la bolsa de trucos no está funcionando. El $e$ en el numerador impide cualquier registro de engaño de separar muy bien, y el límite de ser negativos, parece que también impide analizar el límite de la sesión.
Traté de interpretar esto como la derivada de una función en un punto, digamos, $g(u) = u^{\frac{1}{u-1}}$ y el punto de $u = 1$, pero la evaluación de $g'(1)$ simplemente se puso peor, y he tenido inquietudes sobre la diferenciabilidad de $g$ no. Sería la elección de una función diferente trabajar mejor?
Traté de tocar el violín con una de las definiciones de límite para $e$ debido a que el primer término en el numerador tiende a $e$$x\to 0$, pero la función que estamos tomando el límite de no es continua en a $x=0$ y para mover el límite era un no-go.
Edit: la $e$ en el numerador parece fundamental, como el límite diverge sin ella.
Tengo la sensación de que me estoy perdiendo algo simple. Cualquier sugerencias/soluciones sería apreciada.
