Si $K$ es campo finito, entonces uno puede easyly muestran que no existe una adecuada sub-anillo $R$ $Q(R) = K$ donde $Q(R)$ es el campo de fracciones de $R$. Como consecuencia, extensiones algebraicas $K$ finitud de los campos no tienen sub-anillo $R$$Q(R) = K$.
Si $K / \mathbb{Q}$ es una extensión algebraica, tenemos $Q(R) = K$ para el anillo $$ R := \{ x \in K : \exists f \in \mathbb{Z}[X] \text{ normed }, f(x) = 0\}.$$ De una manera más general, si $L / K = Q(S)$ es una extensión algebraica, entonces la define de forma similar anillo $$R := S^L := \{ x \in L : \exists f \in S[X] \text{ normed }, f(x) = 0\}$$ satisfies $Q(R) = L$. Moreover $R$ is integrally closed (every zero $x \en L$ of normed polynomials $f \in S[X]$ is already in $R$) and $R$ is a field if and only if $S$ es un campo.
Desde el puramente trascendental campo de las extensiones de cociente campos de la correcta subrings por definición, vemos que todos los campos excepto el algebraicas campo extensiones de campos finitos puede ser escrito como $K = Q(R)$, con un adecuado sub-anillo $R \subseteq K$.
Ahora me pregunto si hay algún tipo de inversa de este procedimiento. Deje $L / K$ ser una expresión algebraica de extensión de campo con $Q(R) = L$. Suponemos que $R$ es integralmente cerrado. Definimos $R_K := R \cap K$. A continuación, $R_K$ es de nuevo una integral de dominio como una intersección de integral de dominios. Pero ¿qué sabemos acerca de $Q(R_K)$? Es igual a $K$ o es la extensión de $K / Q(R_K)$ al menos algebraicas? Tenemos $(R_K)^L = R$? Si $K / Q(R_K)$ es algebraicas tenemos la inclusión de $(R_K)^L \subseteq R$ (que es obvio) y hemos vuelto a tener ese $R$ es un campo (por lo $R = L$) si y sólo si $R_K$ es un campo. Tal vez estrechamente relacionado es la pregunta, si hay un más pequeño de la integral de dominio $R \subseteq L$$Q(R) = L$.
