Hilb es la categoría en la que los objetos son espacios de Hilbert y morfismos son delimitadas en los mapas. Es una daga monoidal simétrica categoría. ¿Cómo podemos asegurar, que algunos arbitraria categoría monoidal es Hilb?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Así que usted quiere algunos axiomas adicionales para un monoidal simétrica categoría de tal forma que si $\mathbf C$ les satisface, a continuación,$\mathbf C\simeq\mathbf{Hilb}$?
Esta es un área activa de investigación! La gente piensa que es como dar una definición operativa de la teoría cuántica. En este contexto la palabra "operativo" significa "en términos de procesos y de cómo interactúan". Varias de estas axiomatisations se han dado, en su mayoría por personas asociadas con el CIERRE de grupo en la Universidad de Pavía. Por ejemplo estos tres documentos (yo no soy un experto por aquí, así que no puedo garantizar que esos papeles son los mejores ejemplos y no ha sido superada por la obra más reciente).
Por supuesto, hay una manera fácil de axiomatise $\mathbf{Hilb}$; sólo tiene que añadir el axioma de que la $\mathbf C\simeq\mathbf{Hilb}$! Pero esto es una estupidez. Lo que realmente queremos es axiomas (después de algo de trabajo) implica que $\mathbf C\simeq\mathbf{Hilb}$. Así axiomatisations puede ser juzgado por la forma en gran parte de la estructura de $\mathbf{Hilb}$ tienen que poner en "a mano" en sus axiomas, en comparación con lo mucho que se puede derivar.
Los papeles que he enlazado anteriormente trabajo en el marco de operativos de la probabilística (Opta). Un OPT puede ser visto como un monoidal simétrica categoría equipados con algún extra estructura (la exacta relación entre la Apuesta y el Smc se describe en este bonito papel de Sean Tull). En particular, la definición de un OPT ya requiere que los escalares (es decir, los mapas de $I\rightarrow I$) son precisamente los números reales en $[0,1]$, es decir, las probabilidades*. En mi opinión yo diría que esto es muy fuerte suposición, pero usted puede estar en desacuerdo.
Yo creo que no es un papel que se publicará pronto que trata de dar a los axiomas de $\mathbf{Hilb}$ pura en el marco de las Cml sin usar Opta. Si recuerdo correctamente, John Selby será uno de los coautores. Voy a tratar de recordar a actualizar esta respuesta cuando se trata de.
*Ah, esto solo me hizo darme cuenta de que los papeles no están caracterizando $\mathbf{Hilb}$ sino $\mathbf{CP}(\mathbf{Hilb})$, la categoría de los espacios de Hilbert y completamente positivo (y de seguimiento de la reducción de los mapas. Esto no importa ya que no es demasiado duro para caracterizar $\mathbf{Hilb}$ $\mathbf{CP}(\mathbf{Hilb})$ en términos de cada uno de los otros.
