Cómo calcular $\lim\limits_{x \to 1^+} \left(\frac{\tan \sqrt {x-1}}{\sqrt{x^2-1}}\right)$?

Question

Tengo un problema con este límite, no sé de qué método usar. No tengo idea de cómo se calcula.
Puede usted explicar el método y los pasos que se usan? Gracias

$$\lim\limits_{x \to 1^+} \left(\frac{\tan \sqrt {x-1}}{\sqrt{x^2-1}}\right)$$

Answer 1

Sugerencia:

\begin{align} \lim_{x\to 1^+}\frac{\tan \sqrt{x-1}}{\sqrt{x^2-1}}&=\left(\lim_{x\to1^+}\frac{\sin\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}}\right)\left(\lim_{x\to1^+}\frac{1}{(\cos\sqrt{x-1})\sqrt{x+1}}\right)\\ \end{align}

Answer 2

Por la expansión de Taylor , como $u \to 0$, uno tiene $$ \tan u=u+O(u^3) $$ giving, as $x \1^+$, $$ \tan \sqrt{x-1}=\sqrt{x-1}+O((x-1)^{3/2}) $$ mus $$ \begin{align} \frac{\tan \sqrt {x-1}}{\sqrt{x^2-1}}&=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}\times \sqrt{x+1}}+O\left(\frac{(\sqrt{x-1})^3}{\sqrt{x-1}\times \sqrt{x+1}}\right)\\\\ &=\frac{1}{\sqrt{x+1}}+O\left(\frac{x-1}{\sqrt{x+1}}\right)\\\\ &\to \frac1{\sqrt{2}}. \end{align} $$

Answer 3

Pensé que podría ser instructivo para presentar un desarrollo que va de vuelta a "lo básico" y se basa en la primaria sólo herramientas. Para ello, hemos de recordar a partir de la geometría de que la función seno satisface las desigualdades

$$z \cos z \le \sin z\le z \tag 1$$

para $0\le z\le \pi/2$.

Reordenación de las $(1)$ podemos ver de inmediato que el $z\le \tan z$. Además, a partir de $(1)$ vemos que $\sin^2 z\le z^2$, de la que es sencillo mostrar que $$\cos z\ge \sqrt{1-z^2}$$ for $0\le z\le 1$. Por lo tanto, tenemos

$$z\le \tan z \le \frac{z}{\sqrt{1-z^2}} \tag 2$$

Ahora, dejando $z=\sqrt{x-1}$ $(2)$ revela por $1 \le x\le 2$

$$\sqrt{x-1}\le \tan\left(\sqrt{x-1}\right)\le \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{2-x}} \tag 3$$

Dividiendo ambos lados de $(2)$$\sqrt{x^2-1}$, obtenemos para $1<x\le 2$

$$\frac{1}{\sqrt{x+1}}\le \frac{\tan\left(\sqrt{x-1}\right)}{\sqrt{x^2-1}}\le \frac{1}{\sqrt{x+1}\sqrt{2-x}} \tag 4$$

Aplicando el Teorema del encaje a $(4)$ da el codiciado límite

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{x\to 1^+}\left(\frac{\tan\left(\sqrt{x-1}\right)}{\sqrt{x^2-1}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}}$$

y hemos terminado!

Answer 4

Otro enfoque es hacer una sustitución. En este caso podemos dejar $x=u^2+1$$u>0$, de modo que $\sqrt{x-1} = \sqrt{u^2} = u$. Entonces:

$$ \begin{align} \lim_{x \to 1^+} \left(\frac{\tan \sqrt {x-1}}{\sqrt{x^2-1}}\right) &= \lim_{u \to 0^+} \left(\frac{\tan u}{\sqrt{(u^2+1)^2-1}}\right)\\ &= \lim_{u \to 0^+} \left(\frac{\tan u}{\sqrt{u^4+2u^2}}\right)\\ &= \lim_{u \to 0^+} \left(\frac{\tan u}{u\sqrt{u^2+2}}\right)\\ &= \lim_{u \to 0^+} \left(\frac{\sin u}u\right)\left(\frac1{\cos u\sqrt{u^2+2}}\right)\\ &= \ldots \end{align} $$

Esto equivale a la misma solución que @MarioG, pero la sustitución elimina la mayoría de los radicales y pone el $\frac{\sin u}u$ en lo que se puede encontrar de una forma más familiar.

Answer 5

$$ \lim_{x \to 1^+} \left(\frac{\tan\sqrt{x-1} }{\sqrt{x^2-1}}\right) = \lim_{x \to 1^+} \left(\frac{\tan\sqrt{x-1} }{\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}}\right) = \lim_{x \to 1^+} \left(\frac{\sin\sqrt{x-1} }{\sqrt{x-1}} \cdot \frac{1}{\cos\sqrt{x-1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x+1}}\right) =$$ $$ \lim_{x \to 1^+} \left(\frac{\sin\sqrt{x-1} }{\sqrt{x-1}} \right) \cdot \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\cos\sqrt{x-1}} \cdot \lim_{x \to 1^+}\frac{1}{\sqrt{x+1}} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$