Estoy leyendo el libro de Conway sobre el análisis complejo. Una pregunta en él me molestó mucho recientemente. Si dada una función continua a trozos con salto en la frontera del disco unitario y está acotada, podemos definir una función en el disco utilizando el núcleo de Poisson. ¿Esta función sigue siendo armónica como en el caso de los datos continuos de la frontera? Si lo es, ¿cómo se comporta alrededor del salto en la frontera? ¿Puedo decir que converge a los datos de la frontera en sentido débil, es decir, en el sentido de la distribución?
Respuesta
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La función sigue siendo armónica. En todos los puntos en los que la función límite es continua, la función armónica se extiende continuamente hasta el límite. El comportamiento en los puntos de discontinuidad es un poco más complicado. Para facilitar la exposición del resultado, supongamos que estamos trabajando en el semiplano superior (como las dos regiones son conformes, no hay ninguna diferencia real). Supongamos que la función límite es $0$ en los reales positivos y $1$ en los reales negativos. Entonces la extensión armónica limita a $\frac{1}{\pi}\arg z$ como $z$ tiende a cero. Este es un problema del texto de Ahlfors sobre análisis complejo, y creo que se puede resolver calculando directamente la integral en cuestión.
Su función límite puede volverse bastante loca y la extensión resultante seguirá siendo armónica. Incluso puedes integrar contra una medida de Borel finita y obtener una función armónica.
De hecho, se pueden decir cosas sobre la convergencia débil e incluso $L^p$ convergencia de la extensión armónica a la frontera. El mejor tratamiento que he visto de esto es el primer capítulo de la obra de Garnett Funciones analíticas limitadas Pero creo que es un material bastante estándar y estoy seguro de que se puede encontrar en otros lugares.
Todo esto es cierto también en dimensiones superiores, y se pueden encontrar pruebas en el capítulo 2 de la obra de Stein y Weiss Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos .
