Tengo una pregunta basada en los principios descritos en "Quantum simulador de un sistema cuántico uso de qubits superconductores: excitón de transporte en los complejos fotosintéticos" por Mostame et al. En este papel que están interesados en estudiar la notable eficiencia de la fotosíntesis, y más específicamente el transporte de la excitación en los complejos fotosintéticos tales como FMO.
Se modelo el complejo como un sistema electrónico", que consisten finito-dimensional sistema de dos sistemas de nivel de, junto a, junto a un baño de "phonon baño' de osciladores armónicos. El razonamiento detrás de este modelo es que los sitios a través de los cuales las excitaciones recorrer contienen una excitación o no, haciendo de ellos una forma de los dos niveles del sistema. Además de que en el real células de estos sitios interactuar con el vibtrational medio ambiente de los alrededores de la estructura molecular, por lo tanto el phononic baño.
Con base en estas consideraciones, uno puede escribir un Hamiltoniano de la forma \begin{equation} H_\text{tot} = H_\text{el} + H_\text{ph} + H_\text{I} \tag{1} \end{equation} donde $H_\text{el}$ se describen los dos sistemas de nivel, $H_\text{ph}$ describe los fotones, y $H_\text{I}$ describe su interacción. El sistema de dos niveles de la parte que tiene la forma de \begin{equation} H_\text{el} = \sum_{j=1}^N \epsilon_j \vert{j}\rangle\langle{j}\vert + \sum_{i < j}^{N} V_{ij}\left(\vert{j}\rangle\langle{i}\vert + \vert{i}\rangle\langle{j}\vert\right) \, . \end{equation} donde la base de los estados $\vert j\rangle$ son definidos por la excitación electrónica que residen en la molécula (sitio) j y todos los otros sitios en su estado electrónico fundamental. El fotón parte tiene la forma \begin{equation} H_\text{ph} = \sum_{j=1}^{N} H_{\text{ph},j} \quad H_{\text{ph},j} = \sum_l \hbar \omega_l(a^{j\dagger}_l a^j_l + 1/2) \, . \end{equation} La interacción que tiene la forma de \begin{equation} H_\text{I} = \sum_{j=1}^N \vert{j}\rangle\langle{j}\vert\left(\sum_l \chi_{jl}(a^{\dagger,j}_l + a_l^j)\right) \, . \end{equation}
En el papel, se muy bien de escribir esto en términos de las matrices de Pauli \begin{align} H = & \frac{1}{2}\sum_{j=1}^N \epsilon_j \sigma_{z}^j + \frac{1}{2} \sum_{i<j}^N V_{ij} \left(\sigma_{x}^j\sigma_{x}^i + \sigma_{y}^j\sigma_{y}^i \right) \\ & + \sum_{j=1}^N\sum_l \hbar \omega_{l,j}(a^{j\dagger}_l a^j_l + 1/2) + \sum_{j=1}^N\sum_l \chi_{jl} \sigma_z^j\left(a^{j\dagger}_l + a^j_l\right) \tag{4} \end{align} donde podemos ver que el baño y los dos sistemas a nivel de intercambio de energía.
Tenga en cuenta que en el texto se escribe que el efecto de este phononic medio ambiente en los dos sistemas de nivel está totalmente contenida en el baño de la densidad espectral de potencia \begin{equation} J_j(\omega) = \sum_l \vert\chi_{jl}\vert^2\delta(\omega-\omega_l) \end{equation}
Esto lleva a mi pregunta, que se refiere a la sección que sigue a las anteriores ecuaciones se llama el clásico ruido de aproximación. Hay que describir el llamado Haken-Strobl-Reineke modelo, donde se reemplaza la mecánica cuántica baño de osciladores armónicos por un clásico de ruido ambiente que conduce a la hora dependientes de las fluctuaciones de las energías de transición $\epsilon$. Aquí uno puede volver a escribir el anterior Hamiltoniana como \begin{equation} \frac{1}{2}\sum_{j=1}^N \left[\epsilon_j + \delta\epsilon_j(t)\right] \sigma_{z}^j + \frac{1}{2} \sum_{i<j}^N V_{ij} \left(\sigma_{x}^j\sigma_{x}^i + \sigma_{y}^j\sigma_{y}^i \right) \tag{5} \end{equation} donde se supone que $\delta \epsilon_j(t)$ es blanco y Gaussiano distribuido.
Ahora mi pregunta es, ¿cómo se hace derivar o motivar \begin{equation}\sum_{j=1}^N\sum_l \hbar \omega_{l,j}(a^{j\dagger}_l a^j_l + 1/2) + \sum_{j=1}^N\sum_l \chi_{jl} \sigma_z^j\left(a^{j\dagger}_l + a^j_l\right) \rightarrow \frac{1}{2} \sum_{j=1}^N \delta\epsilon_j(t) \sigma_z^j \end{equation}
Ya sé que uno tiene que asumir algo sobre el ruido de tener un blanco de densidad espectral de potencia y Gaussiano distribuido. Además de esto creo que uno podría tener que asumir que el medio ambiente tiene un alto número suficiente de modos de ser considerado como un continuo. Pero incluso con esto no es obvio para mí en absoluto. Hace un sustituto de la anterior $J_j(\omega)$ por un ruido blanco PSD para obtener el resultado?
He intentado buscar en el original Haken Strobl artículo sobre este tema, pero los resultados no parecen inicio de la phononic baño, que acaba de asumir las $\delta \epsilon_j(t)$ plazo desde el inicio. Por tanto, yo entiendo que una derivación exacta no podría estar allí, pero me gustaría por lo menos para motivar a la transición, tal vez, con alto límite de temperatura o algo por el estilo.
