Si la unión de dos conjuntos es la contenida en la intersección, entonces uno está contenido en el otro ($[A\cup B\subseteq A\cap B]\implies A \subseteq B$)

Question

Deje $A$ $B$ ser conjuntos. Deje $A\cup B\subseteq A\cap B.$ Demostrar que $A\subseteq B.$

Mi comprensión de esta cuestión es que todos los elementos de a $A$ que se cruza con $B$ existe en la unión de los conjuntos de $A$$B$, y porque en el orden de los elementos que se cruzan, los elementos que deben existir en ambos conjuntos de $A$$B$. Por lo tanto, $A$ es un subconjunto de a $B$.

Mi pregunta es ¿cómo hago para escribir la prueba hacia abajo de modo que es una respuesta aceptable? También esto significa establecer $B$ es un subconjunto de a $A$?

Answer 1

$$A\subseteq A\cup B\subseteq A\cap B \subseteq B.$$
Del Mismo Modo $B\subseteq A.$ Por Lo Tanto $A=B$

Answer 2

Supongamos que tenemos un elemento $x$$x\in B$, pero $x$ no es elemento de a $A$

A continuación, $x$ es en la unión de $A$$B$, pero no en la intersección. Esta es una contradicción.

Answer 3

Cómo hacer u proceder cuando usted necesita para mostrar un conjunto está contenido en otro? Tomar un elemento de primera y de alguna manera tratar de mostrar que en la segunda. Aquí vamos x pertenece a A, entonces x pertenece a Un sindicato B, ahora usando la condición dada vamos a conseguir que x pertenece a Una intersección B, por lo que x pertenece a B, que es precisamente la que usted necesita para mostrar.

Answer 4

$$A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B $$ $$A \cap B \subseteq B\subseteq A \cup B$$

Si $A \cup B\subseteq A \cap B $, luego los extremos son exprimidos y $A = B$.