Dejemos que $n>1$ sea un número entero positivo no cuadrado (puede ser primo, si se desea), ¿existe un primo $p>2$ tal que $n$ genera el grupo multiplicativo de $\mathbb F_p$ ? Parece cierto, pero no he podido encontrar una prueba inmediata para ello... ¿tal vez utilizando alguna ley de reciprocidad? No estoy seguro.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
lhf
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La pregunta general en forma fuerte es el contenido de Conjetura de Artin :
Todo número entero que no es ni cuadrado perfecto ni igual a $−1$ es una raíz primitiva módulo de infinitos primos.
Esto sigue sin probarse.
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¿Has probado algunos ejemplos? ¿Funciona cuando p=3?
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Si n es impar dejemos p=2. No estoy seguro de si n es par.
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P=3, n=7 falla ya que 7 es congruente a 1 módulo 3 por lo que no genera. Pero de todos modos la pregunta es al revés: hay que fijar n y encontrar p
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Editado con p>2, lo siento.
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Usted puede encontrar esto útil para empezar. Todos los primeros $\gt 2$ tiene una raíz primitiva primera. Se sabe mucho más, incluyendo estimaciones de tamaño.
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Relacionado: math.stackexchange.com/questions/422201