El cálculo de determinantes con número real en diagonal y en todas las demás unidades de

Question

Estoy resolviendo un problema y estoy teniendo dificultades en el cálculo de los determinantes de dos matrices.

Hay dos $N\times N$ matrices:

$$\left( \begin{array}{cccc} a & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & a & \ldots & \vdots \\ \vdots & \ldots & \ddots & 1 \\ 1 & \ldots & 1 & a \\ \end{array} \right)$$ donde $a\in \mathbb{R}$

y $$\left( \begin{array}{cccc} a_1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & a_2 & \ldots & \vdots \\ \vdots & \ldots & \ddots & 1 \\ 1 & \ldots & 1 & a_n \\ \end{array} \right)$$ donde $a_1,\ldots,a_n\in \mathbb{R}$

He tratado de fórmula recursiva, pero no tengo ningún resultado.

Si alguien pudiera ayudar o darme alguna enlaces le estaría agradecido.

Answer 1

Voy a mirar un poco diferente de caso, donde en la diagonal no hay $a$ o $a_i$ pero $1+a$$1+a_i$, lo que hace que los resultados mucho más agradable.

Sugerencia:

Si usted pregunta a Mathematica

Det[#] &@
   (ConstantArray[1, {#, #}] + a*IdentityMatrix[#]) & /@ 
       Range[10]

(que en realidad es pedir el determinante de su matriz en los casos en que $n$ está en algún lugar entre el$1$$10$), se obtiene la respuesta

\begin{array}{} a+1\\ a^2+2 a\\ a^3+3 a^2\\ a^4+4 a^3\\ a^5+5 a^4\\ a^6+6 a^5\\a^7+7 a^6\\ a^8+8 a^7\\ a^9+9 a^8\\a^{10}+10 a^9 \end{array}

así que usted sabe a dónde ir por la primera solución. Como en el comentario se sugiere, reste la última fila de cada uno de los otros, y luego pensar en lo permutaciones de indizes rendimientos distinto de cero producto. (esto es mucho más fácil una vez que sabes lo que veremos).

El segundo funciona casi exactamente el mismo, sólo hay que pensar en primer lugar un poco más. Al conocer el resultado de la primera el resultado de la segunda es más probable que se $$ \sum_{i=1}^n \underset{k\neq i}{\prod_{k=1}^n} a_k + \prod_{k=1}^n a_k$$

Answer 2

El primer determinante puede (entre otros medios) se realiza simplemente con señalar que la adición de $(a-1)I$ a una matriz de cambios de todos los autovalores por $a-1$, y observando que los autovalores de una matriz de todos es simple de calcular.

Como Alexander sugiere en general:

La operación de la resta de la última fila de los demás es la misma que la izquierda-multiplicando por

$\begin{pmatrix} 1 & 0 &\cdots & \cdots & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & & 0 & -1 \\ \vdots& 0 & \ddots &\ddots & \vdots& \vdots\\ & & \ddots& \ddots & 0& \vdots \\ \vdots & & & 0 & 1 & -1 \\ 0 & \cdots & & \cdots & 0 & \phantom{-}1 \end{pmatrix}$

que ha determinante uno, así que esta operación no afecta al total determinante. Esto añade muchos ceros, y debe hacer su vida mucho más fácil.

Answer 3

esta es sólo una mitad de una respuesta, pero lamentablemente no tengo los créditos para un comentario.

El primer determinante puede ser expresada en una agradable forma cerrada, ver Circulantes de la matriz