Identidad con la matriz inversa de la multiplicación $(A_1+A_2)^{-1}$

Question

Si tenemos que $A_1$ $A_2$ son matrices, ¿cómo puedo demostrar que $$I-A_1(A_1+A_2)^{-1} = A_2(A_1+A_2)^{-1}$$ if $(A_1+A_2)^{-1}$ existe? El caso donde tenemos los números de hace sentido intuitivo pero aquí estoy teniendo problemas explícitamente a venir para arriba con una razón de por qué. Se agradece cualquier ayuda, gracias!

Answer 1

\begin{align}I-A_1(A_1+A_2)^{-1}&=(A_1+A_2)(A_1+A_2)^{-1}-A_1(A_1+A_2)^{-1}\\[0.2cm]&=(A_1+A_2-A_1)(A_1+A_2)^{-1}\end{align}

Answer 2

$$I-A_1(A_1+A_2)^{-1} = A_2(A_1+A_2)^{-1}$$

$$ \iff I(A_1+A_2)-A_1(A_1+A_2)^{-1}(A_1+A_2) = A_2(A_1+A_2)^{-1}(A_1+A_2)$$

$$ \iff (A_1+A_2)-A_1 = A_2$$

$$ \iff (A_1+A_2) = A_2 + A_1$$