Fórmula para el N-ésima Derivada de la Matriz Inversa

Question

Yo estaba buscando una ecuación para la n-ésima derivada de una matriz inversa, es decir,

$\frac{d^n \bf{A}^{-1}}{dx^n}$

Sé que la primera derivada

$\frac{\text{d} \bf{A}^{-1}}{\text{d}x} = -\bf{A}^{-1} \frac{\text{d} \bf{A}}{\text{d} x} \bf{A}^{-1}$

Pero, ¿hay algún tipo de generalización de este sin tener a la cadena/producto de la regla?

Answer 1

Asumiendo $A: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{ n \times n}$ es suave y $A$ es invertible, cerca del punto de diferenciación. Tenemos $AA^{-1}=I$ por lo tanto $$ \frac{dA}{dx}A^{-1}+A\frac{dA^{-1}}{dx} = 0 $$ de la que podemos deducir $$ \frac{dA^{-1}}{dx} = -A^{-1}\frac{dA}{dx}A^{-1} $$ La diferenciación, una vez más, (yo sé, yo no estoy haciendo lo que quiera... pero yo quiero entender no sólo dicen que la respuesta) \begin{align} \frac{d^2A^{-1}}{dx^2} &= -\frac{dA^{-1}}{dx}\frac{dA}{dx}A^{-1}+ -A^{-1}\frac{d^2A}{dx^2}A^{-1}-A^{-1}\frac{dA}{dx}\frac{dA^{-1}}{dx} \\ &= A^{-1}\frac{dA}{dx}A^{-1}\frac{dA}{dx}A^{-1} -A^{-1}\frac{d^2A}{dx^2}A^{-1}+A^{-1}\frac{dA}{dx}A^{-1}\frac{dA}{dx}A^{-1} \\ &= 2A^{-1}\frac{dA}{dx}A^{-1}\frac{dA}{dx}A^{-1} -A^{-1}\frac{d^2A}{dx^2}A^{-1} \ \ \ \star \end{align} En contraste, se podría haber diferenciado $AA^{-1}=I$ dos veces $$ \frac{d^2A}{dx^2}A^{-1}+2\frac{dA}{dx}\frac{dA^{-1}}{dx}+A\frac{d^2A^{-1}}{dx^2} = 0 \ \ \ \star^2$$ Así, encontramos de nuevo $\star$. Diferenciar $\star^2$ una vez más: $$ \frac{d^3A}{dx^3}A^{-1}+3\frac{d^2A}{dx^2}\frac{dA^{-1}}{dx}+3\frac{dA}{dx}\frac{d^2A^{-1}}{dx^2}+A\frac{d^3A^{-1}}{dx^3} = 0 \ \ \ \star^3$$ Así, resolver por $\frac{d^3A^{-1}}{dx^3}$, \begin{align} \frac{d^3A^{-1}}{dx^3} &= -A^{-1}\frac{d^3A}{dx^3}A^{-1}-3A^{-1}\frac{d^2A}{dx^2}\frac{dA^{-1}}{dx}-3A^{-1}\frac{dA}{dx}\frac{d^2A^{-1}}{dx^2} \\ &=-A^{-1}\frac{d^3A}{dx^3}A^{-1}-3A^{-1}\frac{d^2A}{dx^2}\left[-A^{-1}\frac{dA}{dx}A^{-1} \right] \\ & \ \ \ -3A^{-1}\frac{dA}{dx}\left[ 2A^{-1}\frac{dA}{dx}A^{-1}\frac{dA}{dx}A^{-1} -A^{-1}\frac{d^2A}{dx^2}A^{-1} \right] \\ &= -A^{-1}\frac{d^3A}{dx^3}A^{-1} + 3A^{-1}\frac{d^2A}{dx^2}A^{-1}\frac{dA}{dx}A^{-1} \\ & \ \ \ \qquad \qquad \qquad + 3A^{-1}\frac{dA}{dx} A^{-1}\frac{d^2A}{dx^2}A^{-1} \\ & \ \ \ \qquad \qquad \qquad - 6A^{-1}\frac{dA}{dx}A^{-1}\frac{dA}{dx}A^{-1}\frac{dA}{dx}A^{-1} \end{align} Creo que podría comenzar a ver un patrón aquí? Yo prefiero no escribir en general. Pero, el resultado es claro tal vez ahora? $$ \frac{d^nA^{-1}}{dx^n} = -A^{-1}\frac{d^nA}{dx^n}A^{-1}+ \cdots + (-1)^n \, n!\underbrace{A^{-1}\frac{dA}{dx}A^{-1} \cdots \frac{dA}{dx}A^{-1}}_{2n+1 \ factors} $$ donde de la $2n+1$ factores que han $n$ copias de $\frac{dA}{dx}$ $n+1$ copias de $A^{-1}$.

Answer 2

Deje $A(t)$ ser cualquier matriz de valores de la función que es invertible, y tanto ella como su inversa son reales analítica con un vecino de $t = 0$. Para las pequeñas $t$, tenemos:

$$\begin{align} A^{-1}(t) = A(t)^{-1} = & \left[ A(0) + \sum_{c=1}^{\infty} \frac{A^{(c)}(0)}{c!} t^c \right]^{-1}\\ = & \left[ \left( I + \sum_{c=1}^{\infty} \frac{A^{(c)}(0) A^{-1}(0)}{c!} t^c \right) A(0) \right]^{-1}\\ = & A^{-1}(0) + A^{-1}(0) \sum_{s=1}^{\infty}(-1)^s \left( \prod_{i=1}^{s} \frac{A^{(c_i)}(0) A^{-1}(0)}{c_i!}\right) t^{\sum_{i=1}^s c_i} \end{align}$$ Para la simplicidad de la discusión adicional, utilizaremos $A, A^{-1}$ $A^{(c)}$ como corto la mano por su valor evaluado en $0$. Si uno compara por encima de expansión con la regular expansión en series de taylor de $A^{-1}(t)$$t = 0$, se encuentra que para $n \ge 1$, $$ \frac{d^n^{-1}}{dt^n} = n!\sum_{s=1}^n (-1)^s\!\!\!\!\sum_{\stackrel{1 \le c_1,\ldots,c_s \le n}{c_1+\cdots+c_s=n}} \left\{A^{-1} \prod_{i=1}^{s} \left( \frac{A^{(c_s)}}{c_s!} A^{-1}\right)\right\} $$ O la expansión de todo, $$\begin{align} \frac{d^n A^{-1}}{dx^n} = - A^{-1}A^{(n)}A^{-1} & + \;\;\sum_{\stackrel{1 \le c_1, c_2 < n}{c_1+c_2 = n}}\frac{n!}{c_1!c_2!}A^{-1}A^{(c_1)} A^{-1} A^{(c_2)} A^{-1}\\ & - \sum_{\stackrel{1 \le c_1, c_2, c_3 < n}{c_1+c_2+c_3=n}}\frac{n!}{c_1!c_2!c_3!}A^{-1}A^{(c_1)} A^{-1} A^{(c_2)}A^{-1} A^{(c_3)} A^{-1}\\ & \;\;\vdots \end{align}$$ La receta es encontrar todas las maneras posibles de la escritura $n$ como suma de enteros positivos $c_1, c_2, \ldots, c_s$, calcular la correspondiente derivados $A^{(c_1)}, A^{(c_2)}, \ldots$, intercalando y unirse a ellos por un montón de $A^{-1}$. Multiplicar cada factor por $\displaystyle (-1)^s \frac{n!}{\prod_{i=1}^{s}c_s!}$ y suma el resultado lío.

Por favor, tenga en cuenta que cuando se $A(t)$ no es real analítica, por encima de la derivación de curso ya no funciona. Sin embargo, la receta anterior de la escritura de la expansión continúa trabajando. Usted puede se derivan de ellos de la manera difícil por la repetición de la aplicación de la regla de la cadena.