Con respecto a compactification-tal vez usted está buscando para la noción de la "unidad de la tangente paquete", que sería compacto proporciona el colector es compacto. En general, la tangente paquete es una variedad de dimensión doble de la original y, naturalmente, se proyecta en el original colector; en otras palabras, si el colector no es compacto, incluso la unidad de la tangente de paquete no es compacto.
Usted puede leer más acerca de la unidad de la tangente paquete aquí.
Con respecto a los cambios de coordenadas: para ser completamente sincero, me entiende ni la motivación ni los detalles técnicos. Sin embargo, cuando se trata de como preguntas, uno tiene que tener cuidado de no mezclar las categorías a las que uno está trabajando.
Desde el punto de vista desnuda de la teoría de conjuntos, todos los espacios descritos, y además de la $\mathbb{C}^2$, son equivalentes (en el sentido de que no existe una relación uno-a-uno y en el mapa de cada uno de los espacios en cuestión a cualquier otro). Sin embargo, además del conjunto de la estructura, nuestros espacios tienen una mucho más rica de la estructura: una geométrica. Por lo tanto, tan pronto como le paso a la suave categoría (pienso de ella, muy a grandes rasgos, como un contexto de suave colectores y suave mapas definidos en ellos), entonces surgen preguntas en cuanto a si los cambios de coordenadas de preservar la estructura que estamos interesados.
Para complicar más las cosas, los espacios $\mathbb{R}^k$, $\mathbb{C}^k$ y los espacios proyectivos todos llevan una estructura algebraica.
En definitiva, no hay ninguna razón para cambiar las coordenadas de, digamos, $\mathbb{R}^2$$\mathbb{C}^1$, a menos que uno quiere beneficiarse de las estructuras adicionales llevado por $\mathbb{C}^1$. En este caso, entonces, uno tiene que asegurarse de que el cambio de coordenadas es canónica (en el sentido de que lo que está probado en las nuevas coordenadas pueden ser llevados de nuevo a la edad de coordenadas). Así, la transformación que se manifiesta este cambio de coordenadas debe poseer ciertas integridad estructural (suelto de lengua alerta!!). Esto hace que la cuestión difícil, especialmente cuando no es clearl exactamente lo que uno está buscando.
Aquí es un simple ejemplo: vamos a ver $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{C}^1$ a través de la transformación de $\Phi: \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{C}^1$$\Phi(a,b) = a + bi$. No hay trucos aquí. Por otra parte, esta transformación es continua con inversa continua, por lo que un homeomorphism. Así todas las propiedades topológicas se conserva (es decir, lo que uno se puede probar acerca de la $\mathbb{C}^1$ y el natural de la topología de la misma, así como la continua mapas definidos, uno puede formular resultados análogos para $\mathbb{R}^2$).
Observe también que tanto $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{C}^1$ son colectores, pero aquí uno tiene que ser cuidadoso: un colector siempre se basa en un "modelo del colector" (por ejemplo, una superficie suave embebido en $\mathbb{R}^3$ se basa en el $\mathbb{R}^2$ en el sentido de que es a nivel local, alrededor de cualquier punto, esencialmente una copia de $\mathbb{R}^2$. Ahora, cuando decimos que tanto $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{C}^1$ son colectores, ¿qué queremos decir por que? Aquí uno tiene que hacer una elección. Podemos modelo tanto en $\mathbb{R}^2$, o modelo de $\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2$, y el modelo de $\mathbb{C}^1$$\mathbb{C}^1$. En el primer caso, son equivalentes a través del cambio de coordenadas $\Phi$; en el último caso, no lo son, ya que hay funciones, decir $f$,$\mathbb{R}^2$, que es infinitamente diferenciable y constante en algún conjunto abierto, mientras que el correspondiente a "empujar hacia adelante" de esta función en $\Phi$, es decir,$f\circ \Phi$, no es diferenciable en a $\mathbb{C}^1$. Es decir, en la analítica de la categoría, $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{C}^1$ no son equivalentes (analítica de la categoría es más fuerte que continua; además, por ser derivable en a $\mathbb{C}^1$ es equivalente a ser infinitamente diferenciable, es equivalente a ser analítica).
La última complicación viene del hecho de que, además de una estructura topológica de $\mathbb{C}^1$ (lo cual, como he comentado anteriormente, es la misma que la de $\mathbb{R}^2$), $\mathbb{C}^1$ lleva una estructura algebraica (es decir, un campo) que es compatible con su topológico (incluso suave) de la estructura en el sentido de que las operaciones de campo de la multiplicación y la suma son suaves mapas (de hecho analítica). $\mathbb{R}^2$, por otro lado, como se define generalmente, no disfruta de estas propiedades.
Se podría argumentar, por supuesto, que podemos "redefinir" $\mathbb{R}^2$ para reflejar las propiedades de $\mathbb{C}^1$. Seguro que podemos hacerlo, pero, a continuación, $\mathbb{R}^2$ hace $\mathbb{C}^1$ que va por el nombre de $\mathbb{R}^2$. Cuando escribimos $\mathbb{R}^2$, específicamente la media de las dos dimensiones de espacio vectorial con el campo subyacente ser $\mathbb{R}$. El espacio vectorial de las operaciones, en este caso, son incompatibles con las operaciones de campo de $\mathbb{C}^1$.
Larga historia corta: siempre que un cambio de coordenadas es introducido, por lo general es por el bien de la transformación de una representación en una forma más simple, para simplificar los cálculos o para referirse a un conocido problema/solución en las otras coordenadas. Usted sabe que usted está haciendo algo que no se "siente bien" cuando se está cambiando las coordenadas para el bien de los que se benefician de algunos adicionales (o principalmente diferentes) estructura matemática de las nuevas coordenadas, ya que lo que logran demostrar en las nuevas coordenadas que requiere este adicional (o diferente) estructura, usted probablemente no será capaz de tirar de nuevo a las coordenadas originales (hay algunas excepciones a esta regla, por supuesto!).
Por lo tanto, me parece, que lo que están haciendo es o bien (a) en última instancia incorrecta en el sentido de hacer un error de categoría, o (b) simplemente "cambiar nombre" sus espacios sin perder ni ganar nada.
