Evaluar $\int{ln(\sqrt{x})dx}$ usando integración por partes

Question

En Khan Academy preguntas de práctica en la Integración por Partes, la anterior pregunta. Y las siguientes opciones fueron proporcionados:

A) $x\ln(x) - x + C$

B) $\frac{1}{2}x\ln(x) - \frac{1}{2}x + C$

C) $x\ln(\sqrt{x}) - \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

D) $\frac{1}{2}x\ln(\sqrt{x}) - \frac{1}{3}x^{3/2} + C$

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Mi intento:

Podemos reescribir la integral como, $$\int{ln(\sqrt{x})(1)dx}$$

Usando Integración por partes, puede ser dado como: $$ = ln(\sqrt{x})\int{(1)dx} - \int{\frac{d(ln\sqrt{x})}{dx}\left(\int{(1)dx}\right)dx}$$

$$ = ln(\sqrt{x})\int{(1)dx} - \int{\frac{1}{\sqrt{x}}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(x)dx}$$

$$ = x\ln(\sqrt{x}) - \frac{x}{2} + C$$

Pero, mi respuesta no coincide con ninguna de las opciones anteriores. ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Usted no ha hecho nada malo. Simplemente tenga en cuenta que $\log(\sqrt x)=\frac12 \log(x)$.

Por lo tanto, su análisis es correcto, la respuesta es $(B)\,\, \frac12\log(x)-\frac12 x+C$.

Answer 2

De otra manera: set $\sqrt{x} = t$ conseguir $\int \log t d (t^2) = 2 \int t \log t dt $ y, a continuación, proceder a la integración por partes