Teoría de números: suma de dos cuadrados

Question

Si $p$ es un primer e $p \equiv 1 \bmod 4$, ¿cuántas maneras hay para escribir $p$ como una suma de dos cuadrados? Hay una explícita formulación de esto?

Hay un teorema que dice que el $p = 1 \bmod 4$ si y sólo si $p$ es una suma de dos cuadrados, por lo que este número debe ser al menos 1. Hay también la Suma de Dos Cuadrados Teorema de la descomposición en factores primos de los números enteros y el de Pitágoras Hipotenusa de la Proposición que dice que un número $c$ es una hipotenusa si y sólo si es un factor de $1 \bmod 4$ números primos. Todos estos teoremas sólo afirman la existencia de $1 \bmod 4$ primos como la suma de dos cuadrados. ¿Cómo yo (tal vez el uso de estos en total) para encontrar el número exacto de las diferentes formas de escribir tan importante como una suma de dos cuadrados?

Answer 1

Si $p$ primer $p \equiv 1 \bmod \ 4 $ $\exists!(a, b), (b, a) \in \mathbb N^2 $ tal que $p = a^2 + b^2$. En efecto, supongamos $p = a^2 + b^2 = c^2 + d^2$, a continuación, en $\mathbb Z[i]$ $(a + ib)(a - ib) = (c + id)(c - id)$ pero $N(a + ib) = N(a - ib) = N(c + id) = N(c - id) = p$ donde $N(a + ib) = a^2 + b^2$ es la norma en la $\mathbb Z[i]$. Entonces tenemos que $a + ib, a - ib, c + id, c - id$ son primos en $\mathbb Z[i]$ por lo tanto podemos concluir que el $a = b, c = d$.

Answer 2

Si $n$ tiene dos expresiones distintas como suma de dos cuadrados, $n=a^2+b^2=c^2+d^2$, $n$ divide $(ac+bd)(ac-bd)$. Pero, a continuación, usted puede mostrar a $n$ no dividir cualquiera de las $ac+bd$ o $ac-bd$ (es un poco complicado), del que se desprende que $n$ no es primo.

A continuación, el contrapositivo es que si $n$ es el primer no tienen más de una representación como una suma de dos cuadrados.

Answer 3

Aquí es una referencia que da una fórmula explícita para su problema, incluso se extiende a todos los números enteros (en lugar de sólo los números primos) http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html