Cómo demostrar a $\sum_p p^{-2} < \frac{1}{2}$?

Question

Estoy tratando de demostrar $\sum_p p^{-2} < \frac{1}{2}$ donde $p$ rangos de todos los números primos. Creo que este debe ser factible por elemental métodos, pero una prueba evade mí.

Preguntas formuladas aquí (por ejemplo. ¿Cuál es el valor de $\sum_{p\le x} 1/p^2$? y el Ritmo de convergencia de la serie de los cuadrados de primer recíprocos) de acuerdo con el valor exacto de dicha suma, por lo que requiere de algunos no-elementales de matemáticas.

Answer 1

Todos los números primos, pero 2 son números impares, de modo $$\sum_p p^{-2} < 1/4 + \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2}$$ Utilizando el hecho de que $1/x^2$ es convexo en la suma está delimitado por $$ \sum_{k=1}^\infty \int_{k-1/2}^{k+1/2}\frac{1}{(2x+1)^2}dx = \int_{1/2}^\infty \frac{1}{(2x+1)^2}dx = 1/4$$

Answer 2

Si conoces $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$, entonces usted podría simplemente decir $$ \displaystyle \sum_{p \text{ prime}} \frac{1}{p^2} $$ $$\lt \frac{\pi^2}{6} - \frac{1}{1^2}- \frac{1}{4^2}- \frac{1}{6^2}- \frac{1}{8^2}- \frac{1}{9^2}- \frac{1}{10^2}- \frac{1}{12^2}- \frac{1}{14^2}- \frac{1}{15^2}- \frac{1}{16^2} $$ $$ \approx 0.49629 $$ $$ \lt \frac12.$$

Alternativamente, si usted no sabe que, en lugar de utilizar $\displaystyle \frac{1}{k^2} \le \int_{x=k-1}^k \frac{1}{x^2}\, dx = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ $\displaystyle \sum_{n=k}^\infty \frac{1}{n^2} \le \int_{x=k-1}^\infty \frac{1}{x^2}\, dx = \frac{1}{k-1}$ y usted puede decir: $$ \displaystyle \sum_{p \text{ prime}} \frac{1}{p^2} \lt \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{3^2}+ \frac{1}{5^2}+ \frac{1}{7^2}+ \frac{1}{11^2}+ \frac{1}{13^2}+ \frac{1}{17-1} \approx 0.4982 \lt \frac12.$$

Answer 3

Podemos deducir esto de manera rápida, y sin conocer el valor numérico de $\pi$, a partir del hecho de que $$\sum_{n \in \Bbb N} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6},$$ de la cual hay numerosas pruebas disponibles.

Deje $E$ denota el conjunto de números; la suma de los cuadrados de todos los números es $$\sum_{n \in E} \frac{1}{n^2} = \sum_{k \in \Bbb N} \frac{1}{(2 k)^2} = \frac{1}{4} \sum_{k \in \Bbb N} \frac{1}{k^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{24}.$$ Ahora, vamos a $X$ denotar la unión de $2$ y todos los positivos números enteros impares $> 1$. En particular, $X$ contiene el conjunto de $\Bbb P$ de todos los números primos como un subconjunto, y así \begin{align} \sum_{p \in \Bbb P} \frac{1}{p^2} &\leq \sum_{n \in X} \frac{1}{n^2} \\ &= \sum_{n \in \Bbb N} \frac{1}{n^2} - \sum_{n \in E} \frac{1}{n^2} - \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} \\ &= \frac{\pi^2}{6} - \frac{\pi^2}{24} - 1 + \frac{1}{4} \\ &= \frac{\pi^2}{8} - \frac{3}{4} . \end{align} Así, no es suficiente para mostrar que $$\frac{\pi^2}{8} - \frac{3}{4} < \frac{1}{2},$$ pero reorganizar muestra que esto es equivalente a $\pi^2 < 10$, lo cual es cierto. Para ver esto último, de hecho, uno puede, por ejemplo, evaluar $$\int_0^1 \frac{x^4 (1 - x)^4}{1 + x^2} dx = \frac{22}{7} - \pi.$$ El integrando es positivo, por lo $\pi < \frac{22}{7}$ y por lo tanto $$ \pi^2 < \left(\frac{22}{7}\right)^2 = \frac{484}{49} < \frac{490}{49} = 10. $$