Suma directa que involucran la integración de

Question

Deje $U$ ser el subespacio de los polinomios $P$ define de la siguiente manera $$U=\left\{p(x)\in P ~ \text{so that } \int _0^1 p\left(x\right)dx=\int _0^1xp\left(x\right)dx=0\right\}.$$ Es el siguiente afirmación verdadera o falsa? $$P=P_1⊕U.$$ Donde $P_1$ es el conjunto de todos los polinomios con grado en la mayoría de las $1$.

Desde $P$ tiene una dimensión infinita y $P_1$ tiene dimensión de $2$, la única manera de que esta declaración podría potencialmente ser cierto habría sido si $U$ también tenía una dimensión infinita. Después de hacer una integración general de un ser infinitamente larga polinomio con coeficientes de $a$, $b$, $c$, y así sucesivamente, junto con la disminución de los poderes de $x$ a partir de $n$, tengo que para ambas integrales para la igualdad de $0$, todos los coeficientes tendría que ser $0$. Esto me llevó a pensar en la dimensión de $U$ se $0$.

Y puesto que el infinito no es igual a $2+0$, pensé que esta declaración era falsa.

Este es mi trabajo:

Así que lo dejé $p\left(x\right)=ax^n+bx^{n-1}+\dots+kx^0$

Por lo tanto, $$\int _0^1\:ax^n+bx^{n-1}+\dots+kx^0=\int _0^1\:x\left(ax^n+bx^{n-1}+\dots+kx^0\right)=0$$ Esto llevó a que: $$\frac{ax^{n+1}}{n+1}+\frac{bx^n}{n}+\dots+kx=\frac{ax^{n+2}}{n+2}+\frac{bx^{n+1}}{n+1}+\dots+\frac{kx^2}{2}=0$$ Lo que condujo a: $$\frac{a\left(1\right)^{n+1}}{1+1}+\frac{b\left(1\right)^n}{n}+\dots+k=\frac{a\left(1\right)^{n+2}}{n+2}+\frac{b\left(1\right)^{n+1}}{n+1}+\dots+\frac{k\left(1\right)^2}{2}=0$$

Esto llevó a creer que todos los coeficientes tuvo que ser $0$ ya que es la única manera de conseguir $0$ como la respuesta. Pero no estoy seguro de si he hecho la integración correctamente.

Alguna ayuda?

Answer 1

Sí, es cierto. Cualquier polinomio $p$ puede escribirse de manera única como la suma de un polinomio de grado a lo más uno y un polinomio en $U$.

Deje $p\in P$ con $\int _0^1p(x)dx=A$ e $\int _0^1xp(x)dx=B$. Entonces no es $q\in P_1$ tal que $p-q\in U$fib $$\begin{cases}\int _0^1(p(x)-ax-b)dx=0\\ \int _0^1x(p(x)-ax-b)dx=0\end{casos}$$ donde $q(x)=a+bx$. Después de la integración, obtenemos $$\begin{cases}\frac{a}{2}+b=A\\ \frac{a}{3}+\frac{b}{2}=B\end{casos}$$ Dado $A$ e $B$, este sistema lineal tiene una solución única: $$(a,b)=(-6A+12B,4A-6B).$$ P. S. $U$ es un infinito-dimensional espacio vectorial: se puede verificar fácilmente que para todos los $n\geq 2$ $$q_n(x)=x^n-\frac{6nx-2(n-1)}{(n+1)(n+2)}\in U.$$ De hecho $$\int_0^1 q_n(x)dx=\frac{1}{n+1}-\frac{3n-2(n-1)}{(n+1)(n+2)}=0$$ y $$\int_0^1 xq_n(x)dx=\frac{1}{n+2}-\frac{2n-(n-1)}{(n+1)(n+2)}=0.$$