Problema con la integral

Question

¿Existe un número $1

Answer 1

Esta es una respuesta numérica.
El RHS es el negativo de la integral de seno en minúsculas, $\int_y ^\infty \frac{\sin t}{t} dt= -\mathbf {si}(y)$ para la cual tenemos $-\mathbf {si}(y) = \frac\pi2 -\mathbf {Si}(y)$ , $\mathbf {Si}(y)$ siendo la integral de seno en mayúsculas. Ahora, en el intervalo $(1,\infty)$ tenemos $\min \mathbf {Si}(y) \approx 0.95$ y $\max \mathbf {Si}(y) \approx 1.85$. Por lo tanto, el rango correspondiente de $-\mathbf {si}(y)$ es $[\frac\pi2 -1.85 , \frac\pi2 -0.95] \approx [-0.28, 0.62]$. Entonces la pregunta se puede reformular como:

¿Está $$\int_{1}^\infty \frac{1}{t} \frac{\sin t}{t} dt \in [-0.28, 0.62] \textrm{ ? }$$

El cálculo da $$\int_{1}^\infty \frac{1}{t} \frac{\sin t}{t} dt \approx 0.50$$ entonces la respuesta a la pregunta es sí, y $y \in (1.15,1.16)$.

Answer 2

Sí. Deje que $$\int_{1}^\infty \frac{1}{t} \frac{\sin t}{t} dt = C.$$ Ahora $$f(y) = \int_y ^\infty \frac{\sin t}{t} dt$$ es una función continua de $y$, $f(1) \geq C$, $f(y) \to 0$ cuando $y\to\infty$, y $C > 0$.

Debería existir un $y \in (0,\pi)$, creo, ya que $$\int_{\pi}^\infty \frac{1}{t} \frac{\sin t}{t} dt < 0.$$

Editar: Thomas Andrews ha señalado correctamente que no está claro si $f(1)$ es $\geq C$.