¿Problema de cierre-complemento de Kuratowski para otros objetos matemáticos?

Question

El original de Kuratowski-cierre complementar problema le pregunta:

Cuántos conjuntos pueden ser obtenidos por aplicar repetidamente el conjunto de operaciones de cierre y complemento de una determinada partida subconjunto de un espacio topológico?

Mi pregunta es: ¿qué se sabe acerca de análoga preguntas en otros entornos?

He aquí un ejemplo de lo que estoy pensando, para los anillos:

Cuántos ideales puede ser obtenido en varias ocasiones la aplicación de las operaciones de radicales y aniquilador a una determinada partida ideal $I$ de un anillo conmutativo $R$?

Tenga en cuenta que$r(r(I))=r(I)$$I\subseteq Ann(Ann(I))=\{x\in R: x\cdot Ann(I)=(0)\}$, que son los mejores análogos de lo que yo podía pensar de a$\overline{\overline{S}}=\overline{S}$$(S^C)^C=S$.

También: ¿cuál es la estructura necesaria para formular este tipo de pregunta, y ¿de dónde se producen de forma natural?

Parece que necesitamos al menos un poset, pero con distinguidos idempotente y la involución de las operaciones de generalizar el cierre y complemento, respectivamente.

Answer 1

Aquí un artículo que podría ser de interés:

D. Peleg, Una generalizada de cierre y complementar fenómeno, la Matemática Discreta., v. 50 (1984) pp 285-293.

Aparte de lo que se encuentran en el documento mencionado no sé de ninguna teoría general o marco dirigidas específicamente a la organización de resultados similar a la de Kuratowski-cierre complementar problema, es decir, aquellos que implican la partida con una semilla objeto (o los objetos) y aplicar repetidamente operaciones para generar más objetos del mismo tipo en un espacio dado.

He aquí un general de la sub-pregunta pensé recientemente, que podría ser interesante para el estudio:

"¿Cuál es el mínimo posible de cardinalidad de un conjunto de semillas que genera el número máximo de conjuntos a través de la dada de operaciones?"

Hace un par de años, he propuesto un reto Mensual problema (11059) que, básicamente, se hace esta pregunta para las operaciones de cierre, se complementan, y de la unión en un espacio topológico. No resultan hay un espacio que contiene un singleton que genera un número infinito de conjuntos de debajo de las tres operaciones, pero es un poco difícil de encontrar. No he mirado en la pregunta sin embargo, para otras operaciones. Que yo sepa no se ha discutido aún en la literatura (aparte del caso concreto abordado por el problema de mi propuesta).