Los números primos $p$ de la forma $p = -(4a^3 + 27b^2)$

Question

La cuestión actual es motivado por esta pregunta. Se sabe que el número de imaginaria cuadrática de los campos de número de la clase 3 es finito. Suponiendo que la respuesta a esta pregunta es afirmativa, se me ocurrió la siguiente pregunta.

Deje $f(X) = X^3 + aX + b$ ser un polinomio irreducible en $\mathbb{Z}[X]$. Deje $p = -(4a^3 + 27b^2)$ ser el discriminante de $f(X)$. Consideramos las siguientes condiciones.

(1) $p = -(4a^3 + 27b^2)$ es un número primo.

(2) El número de clase de $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ es de 3.

(3) $f(X) \equiv (X - s)^2(X - t)$ (mod $p$), donde $s$ $t$ son distintos racionales enteros mod $p$.

Pregunta Hay una infinidad de números primos $p$ satisfactorio (1), (2), (3)?

Si esto es demasiado difícil, es allí cualquier $p$?

Espero que alguien búsqueda de números primos de utilizar un ordenador.

Answer 1

Para (229, -4,-1) el polinomio de factores como $(x-200)^2(x-58)$

Para (1373, -8,-5) el polinomio de factores como $(x-860)(x-943)^2$

Para (2713, -13,-15) el polinomio de factores como $(x-520)^2(x-1673)$

Answer 2

Aquí un poco de código que escribí el uso de la Salvia:

def quadClassNumber(p):
    K.<alpha> = NumberField([x^2-p]);
    return K.class_number();  

U=1000;
for p in Primes():
    if p < U and quadClassNumber(p)==3:
        J = EllipticCurve([0,-2^4*3^3*p]);
        L = J.integral_points();
        if len(L) > 0:
            for (a,b,1) in L:
                A = a/(-2^2*3);
                B = b/(2^2*3^3);
                if A.is_integral() and B.is_integral():
                    E = EllipticCurve([A,B]);
                    if E.has_multiplicative_reduction(p):
                        print "p=",p;
                        print E;
                        print E.discriminant().factor();
                        R.<t> = PolynomialRing(IntegerModRing(p),1);
                        print R(E(0,1,0).division_points(2,true)/4).factor();
                        print "    ";
                        break;
    elif p > U:
        break;

La integral de los puntos de la curva elíptica J corresponde (aproximadamente) a los pares de números enteros $(A,B)$ satisfacción $p = -(4A^3 + 27B^2)$. J es un modelo integral de la curva elíptica asociados con esta ecuación, pero el uso de la J y de Sage integral_points() función en el costo de algunas potencias de 2 y 3 que aparecen en las definiciones de $A$$B$.

He buscado por los números primos hasta 10.000. Por ejemplo, con p=8581, a = -16 y b=17 trabajo, y el correspondiente polinomio factores mod 8581 como $(x + 6166)^2(x + 4830)$.