Reclamación de un Actuarial Libro de texto: límites implica la existencia de la media y la varianza

Question

Esto es de Matemáticas Actuariales para la Vida Riesgos Contingentes, 2ª ed., por Dickson et al. Algunas definiciones (no directamente desde el libro):

Las Definiciones Y Notación. $T_x$ se define a ser el futuro de la vida de una vida de la edad de $x \geq 0$. También definimos la función de distribución acumulativa de $T_x$, que se denota cualquiera de las $F_{T_x}$ o $F_x$ $$F_{T_x}(t) = F_{x}(t) = \mathbb{P}\{T_x \leq t\}\text{.}$$ La supervivencia de la función de $T_x$, denotado $S_x$, se define como $$S_{x}(t) = 1 - F_{x}(t)\text{.}$$ También debe hacer sentido de que $T_x$ toma sólo valores no negativos; es decir, $T_x \geq 0$. Así que, por supuesto,$$\mathbb{E}\left[T_x\right] = \int\limits_{0}^{\infty}tf_{x}(t)\text{ d}t$$ donde $f_{x}$ es la función de densidad de probabilidad de $T_x$.

A lo largo de este libro, se supone que $S_{x}$ es derivable para todos los $t > 0$. El texto también hace las siguientes suposiciones:

Hipótesis 2.2: $\lim_{t \to \infty}tS_{x}(t) = 0$

Asunción 2.3: $\lim_{t \to \infty}t^2S_{x}(t) = 0$

"Estos dos últimos supuestos asegurarse de que la media y la varianza de la distribución de $T_x$ existe."

Ahora aquí está la pregunta principal: ¿por qué es esto cierto? No puedo encontrar donde he preguntado esto antes, pero recuerdo que el conversar es verdad (es decir, lo que los autores están diciendo aquí es de hecho falso), pero nunca fue capaz de encontrar la justificación de por qué.

También sé que es un hecho que SI $\mathbb{E}[T_x]$ que existe $$\mathbb{E}[T_x] = \int_{0}^{\infty}S_{x}(t) \text{ d}t\text{,}$$ pero esto es, por supuesto, no es útil, ya que asume que el $\mathbb{E}[T_x]$ existe, para empezar.

FYI: estoy incluyendo en la probabilidad de la teoría en esta pregunta en caso de que necesitemos herramientas de medida de la teoría de la probabilidad para resolver esta cuestión. Por desgracia, no conozco el tema muy bien.

Answer 1

Las condiciones dadas por el OP no son suficientes (como se sospecha por la OP en la pregunta).

Una conocida fórmula de la teoría de la probabilidad dice que para no negativo de las variables aleatorias $Y$: $$ E[Y] = \int_0^\infty P(Y>y) dy , $$ vea Integral de CDF igual valor esperado. Esta fórmula se mantiene incluso si uno de los lados de arriba toma el valor de $+ \infty$.

Ahora podemos usar la fórmula para expresar la media de la variable aleatoria no negativa $T_x$: $$ E[T_x] = \int_0^\infty S_x(t) dt.$$ Por lo que la media es finito iff la integral en el lado derecho es finito. Deje $c= 2\log 2$. A continuación, el ejemplo $S_x(t) = c((t+2) \log (t+2))^{-1}$ $t\in [0,\infty)$ muestra: \begin{align} \lim_{t\to \infty} tS_x(t) & = c\lim_{t \to \infty} \frac{t}{(t+2)\log (t+2)} = 0 \\ \int_0^\infty S_x(t)dt & = c\int_0^\infty ((t+2) \log (t+2))^{-1} dt = c\int_2^\infty (s \log s)^{-1} ds = c[\log (\log t)]^\infty_2 = \infty. \end{align} Así, vemos que la Hipótesis 2.2 no es suficiente para la existencia de la media. Se utilizó $s=t+2$ en la integral.

Asimismo, la situación con la varianza y la función \begin{equation} S_x(t) = c'\big((t+2)^2 \log (t+2) \big)^{-1}, t \in [0,\infty) . \end{equation} Aquí, $c' = 4 \log 2$. Se sabe que la varianza existe iff el segundo momento existe. La derivación de los primeros pasos para el segundo momento es entonces de la siguiente manera. $$ E[T_x^2] = \int_0^\infty P(T_x^2>t) dt = \int_0^\infty S_x(\sqrt{t})dt.$$ Casi el mismo cálculo anterior muestra que la Hipótesis 2.3 no es suficiente para la existencia de la varianza: \begin{align} \lim_{t\to \infty} t^2S_x(t) & = c'\lim_{t \to \infty} \frac{t^2}{(t+2)^2\log (t+2)} = 0 \\ \int_0^\infty S_x(\sqrt{t})dt & = c'\int_0^\infty \big((\sqrt{t}+2)^2 \log (\sqrt{t}+2)\big)^{-1} dt = c'\int_2^\infty \big((s \log (\sqrt{s})\big)^{-1} dt \\ & = 2c'[\log (\log t)]^\infty_2 = \infty. \end{align} Hemos utilizado la sustitución de $\sqrt{s} = \sqrt{t} +2$ en la última línea.

Answer 2

Voy a dar una regla general relacionados con el comportamiento de la cola a la existencia de ciertos momentos de una variable aleatoria. Esta regla podría ser utilizado para refinar las hipótesis 2.2 y 2.3.

Antes, la primera nota que tu SI la reclamación está bien, aunque si la media no existe la igualdad que usted menciona se mantiene: \begin{align} \mathbb{E}\left[T_x\right] &= \int_{0}^{\infty}t dF_x(t)\\ &=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}1_{t>y}f_x(t)dydt\\ &=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}1_{t>y}dF_x(t)dy\\ &=\int_{0}^{\infty}Pr(T_x>y)dy\\ &=\int_{0}^{\infty}S_x(t)dt\\ \end{align} Me permite cambiar el orden de integración del teorema de Tonelli.

En general, tenga en cuenta que uno podría establecer que si $\displaystyle t^aS_x(t)\rightarrow 0$ algunos $\displaystyle a>0$$\displaystyle E|T_x|^b<\infty$$\displaystyle b<a$: Para ver esta nota que (mediante integraciones por parte) \begin{align} \int_{0}^{n}t^b dF_x(t)&=-n^bPr(T_x>n)+\int_{0}^{n}bt^{b-1}S_x(t)dt \end{align} ahora por $\displaystyle t^aS_x(t)\rightarrow 0$, para algunas de las $\displaystyle \epsilon >0$ podemos optar $\displaystyle N=N(\epsilon)$ tal que $\displaystyle Pr(T_x>t)<\frac{\epsilon}{t^a}$. Por lo tanto,$\displaystyle-t^bPr(T_x>t) \rightarrow 0$. Así \begin{align} \int_{0}^{\infty}t^b dF_x(t)&=\int_{0}^{N}bt^{b-1}S_x(t)dt+\int_{N}^{\infty}bt^{b-1}S_x(t)dt\\ &\leq \int_{0}^{N}bt^{b-1}dt + \int_{N}^{\infty}bt^{b-1}\frac{\epsilon}{t^a}dt\\ &<\infty \end{align}