¿La función de Green para la ecuación de Klein-Gordon diverge?

Question

Estoy intentando calcular el propagador de la teoría del campo escalar libre (es decir, la función de Green para la ecuación de Klein-Gordon). En las páginas 23 y 24 del libro de Zee La teoría cuántica de campos en pocas palabras (también puede encontrar exactamente la misma derivación en la página 5 de este ) él pone esto en la forma de una integral sobre 4-momentum así:

$$D(x) = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} \frac{e^{ikx}}{k^2 - m^2 + i\epsilon}$$

donde el $+i\epsilon$ equivale a pasar por debajo del poste en el semiplano izquierdo y por encima del poste en el semiplano derecho. Hasta aquí, todo correcto. Luego hace una integral de contorno sobre la componente de energía del cuatromomento para obtener esto:

$$D(x) = -i\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2\omega_k}[e^{-i(\omega_k x^0-\vec{k}\cdot\vec{x})}\theta(x^0) + e^{i(\omega_k x^0-\vec{k}\cdot\vec{x})}\theta(-x^0)]$$ donde $\omega_k = \sqrt{\vec{k}^2+m^2}$ y $\theta$ es la función escalón de Heaviside. De nuevo, no encuentro nada malo en esto. Pero cuando intento hacer la integral sobre tres momentos, ya sea en Mathematica o a mano, diverge horriblemente. He intentado hacer esto sobre un rango de condiciones ( $x^0 = 0$ y $\vec{x} \neq 0$ , $x^0>0$ y $\vec{x}=0$ etc.) y no importa lo que obtenga una integral sobre $|k|$ que no converge. ¿Qué estoy haciendo mal?

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A modo de ejemplo: Supongamos que $x^0 = 0$ y $\vec{x} \neq 0$ . Entonces nuestra integral se convierte en $$-i\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2\omega_k} \cos(\vec{k}\cdot\vec{x}).$$ Escribiendo esto en un sistema de coordenadas esféricas se obtiene (ya que no hay $\phi$ -dependencia) $$-i\int_0^\infty dr \int_0^\pi d\theta \frac{r^2\sin\theta}{8\pi^2\sqrt{r^2+m^2}}\cos(r|x|\cos\theta).$$ Puedes hacer la integral sobre $\theta$ bastante fácil de conseguir $$-\frac{i}{4\pi^2 |x|} \int_0^\infty dr \frac{r\sin(r|x|)}{\sqrt{r^2+m^2}},$$ que diverge. Parece bastante malo que una perturbación tenga amplitud infinita para propagarse a otro lugar instantáneamente, así que obviamente algo ha ido muy mal aquí.

Answer 1

Según estas notas de clase (página 18 en el pdf) y algunos otros que he encontrado, la integral puede de hecho evaluarse y da la función de Bessel modificada del segundo tipo, de orden 1 (véase Wikipedia ).

La integral no parece converger, pero no estoy seguro de que pueda decirse que diverge, porque oscila (con amplitud creciente). La forma en que los físicos "resuelven" estas integrales es yendo al plano complejo, donde convergen y luego tomando el límite a medida que la integral se acerca a la línea real. Lo raro es que la integral no conmuta con el límite, pero la justificación para hacerlo es que funciona.

Otra forma sería señalar $$ K_0(xm)=\int_0^\infty\frac{dr\,\cos(xr)}{\sqrt{m^2+r^2}} $$ Es otra función de Bessel (espero que estemos de acuerdo en que converge). Entonces

$$ mK_1(xm)=-m\partial_xK_0(xm)=-\int_0^\infty \frac{dr\,r\,\sin(xr)}{\sqrt{m^2+r^2}}. $$

La primera igualdad es una definición (creo), la segunda es un poco sospechosa, como prometí (¿quizá algún matemático pueda comentarlo?).

Para grandes $x$ decae como $e^{-mx}$ (véanse las notas de la conferencia a las que me referí), lo que resulta algo tranquilizador. Pero (parafraseando de nuevo los apuntes de Tong), lo preocupante es que sea distinto de cero, porque, como has dicho, el intervalo es similar al espacio ("instantáneamente" depende del sistema de referencia y, por tanto, no es una propiedad física, aunque tampoco debería permitirse).

La resolución del enigma es que el requisito físico real es que los operadores evaluados en puntos separados por puntos similares en el espacio deben conmutarse, de modo que las medidas en los dos puntos no puedan depender una de otra. Pero afortunadamente, incluso a partir de la expresión anterior, se puede ver que, debido a que $r$ es sólo la magnitud de la separación espacial, el conmutador es siempre cero (pruébalo explícitamente si quieres).

Answer 2

Has encontrado la razón por la que la mayoría de las 4D QFT necesitan tener renormalización : El propagador es divergente (UV).

Para "curar" la teoría, es necesario regularizarla (hacer que las divergencias sean expresables en algún parámetro sencillo, como un corte de momento), por ejemplo mediante regularización dimensional - y luego proceder con algún esquema de renormalización. Que la teoría sea no interactuante significa que sólo hay finitamente muchas cosas divergentes -el propagador en sí- en contraposición a los infinitamente muchos diagramas divergentes que habría que organizar en órdenes de teoría de perturbaciones en una teoría interactuante, pero, como ves, no excluye la necesidad de la renormalización como tal.