¿Hasta qué punto puede fallar el Hauptidealsatz de Krull para anillos noetherianos?

Question

El Hauptidealsatz de Krull (teorema del ideal principal) dice que para un anillo noetheriano $R$ y cualquier $r\in R$ que no es una unidad o un divisor de cero, todos los primos mínimos sobre $(r)$ son de altura 1. ¿Cómo puede fallar esto si $R$ es un anillo noetheriano? Por ejemplo, si $R$ es noetheriano, ¿es posible que exista un primo mínimo sobre $(r)$ de altura infinita?

EDIT: La respuesta es sí. Ver https://mathoverflow.net/questions/42510/how-badly-can-krulls-hauptidealsatz-fail-for-non-noetherian-rings

Answer 1

Los anillos de valoración demuestran claramente el fracaso del teorema del ideal principal de Krull: tomemos un anillo de valoración O de dimensión finita. Los ideales principales forman entonces una cadena

$p_0:=0\subset p_1\subset\ldots\subset p_d$

de manera que para cada $i\in{1,\ldots ,d}$ existe $r_i\in p_i\setminus p_{i-1}$ . Obviamente $p_i$ es un primo mínimo sobre $r_iO$ .

Para los dominios de valoración de dimensión infinita hay que considerar los llamados primos límite: un ideal primo $p$ de un anillo conmutativo $R$ se llama límite-prima si

$p=\bigcup\limits_{q\in\mathrm{Spec} (R): q\subset p}q$ .

Existen dominios de valoración $O$ de dimensión Krull infinita tal que el ideal máximo $m$ de $O$ no es límite-prima. Por ejemplo, tomemos un anillo de valoración tal que el grupo de valores correspondiente sea

$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\ldots$ (contablemente muchos factores ordenados lexigráficamente).

Entonces se puede encontrar $r\in m$ tal que $m$ es mínimo sobre $rO$ .

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