Definiciones equivalentes de funciones absolutamente continuas.

Question

Se dice que una función$f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}$ es absolutamente continua si para cada$\epsilon>0$, existe$\delta>0$, por lo que para cada secuencia finita mutuamente desunida de subintervalos cerrados $\{[a_1,b_1],...,[a_n,b_n]\}$ de$[a,b]$ que satisface$\sum_{i=1}^n |b_i-a_i|<\delta$,$\sum_{i=1}^n |f(b_i)-f(a_i)|<\epsilon$ retiene.

Deje que$f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}$ sea una función absolutamente continua y$\epsilon>0$.

Entonces, ¿cómo demuestro que existe$\delta>0$ de manera tal que para cada secuencia finita mutuamente desunida de subintervalos abiertos $\{(a_1,b_1),...,(a_n,b_n)\}$ de$[a,b]$ que satisface$\sum_{i=1}^n |b_i-a_i|<\delta$,$\sum_{i=1}^n |f(b_i)-f(a_i)|<\epsilon$ sostiene?

Answer 1

Sugerencia: Si $\{(a_k,b_k)\}$ son disjuntos a pares, entonces para los pequeños $t>0,$ $\{[a_k+t,b_k-t]\}$ son pares distintos.

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Agrega detalles, a la luz de los comentarios: Deje $\epsilon>0.$ $\delta$ que trabaja para el cerrado de los intervalos. Supongamos $(a_k,b_k), k =1,\dots, n,$ son pares distintos, con $\sum (b_k-a_k) < \delta.$, para los pequeños $t>0$, $[a_k+t,b_k-t]$ son pares distintos, la suma de cuyas longitudes se $< \delta.$

$$\sum_{k=1}^{n} |f(b_k-t)-f(a_k+t)|<\epsilon$$

para las pequeñas $t >0.$ Deje $t\to 0^+$ para obtener

$$\sum_{k=1}^{n} |f(b_k)-f(a_k)|\le\epsilon.$$

Aquí hemos utilizado la continuidad de $f,$, con lo cual está garantizada, ya que estamos asumiendo $f \in AC.$