Formando un vector ortonormal cuando ya tienes dos vectores perpendiculares

Question

Por lo que entiendo los requisitos para que una base ortonormales y todo a su alrededor. Sin embargo, hay una cosa que me estoy perdiendo:

Supongamos que se tienen dos vectores que son ortonormales $u_1$$u_2$. De acuerdo a la answerbook la multiplicación de vectores $u_1$ $u_2$ resultados en otro ortonormales de vectores $u_3$.

Es este un verdadero estándar de la teoría? Realiza la multiplicación de dos vectores ortonormales resultados en otro ortonormales de vectores?

He incluido una foto sólo para hacerlo más claro.

Gracias de antemano :)

Answer 1

Aquí estamos usando la propiedad de producto cruzado que se define solo para$v\in \mathbb{R^3}$.

Por lo tanto, el método no es útil en general, pero en ese caso es muy efectivo para encontrar una base ortonormal.

Answer 2

El producto cruzado$u_1\times u_2$ de cualquiera de los dos vectores$u_1$ y$u_2$ siempre es ortogonal para ambos. Además,$$\lVert u_1\times u_2\rVert=\lVert u_1\rVert.\lVert u_2\rVert.\sin\theta,$$where $ \ theta$ is the angle between them. Therefore, if $ u_1$ and $ u_2$ are orthogonal and both of them have norm $ 1$, $ u_1 \ times u_2$ will also have norm $ 1 $ (y será ortogonal a los otros dos).

Answer 3

Sí, puedes comprobarlo por cálculo directo.

Supongamos que$u = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}$ y$v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$ son vectores ortonormales. Su producto cruzado se define como$$u \times v = \begin{bmatrix} u_2v_3 - u_3v_2 \\ u_3v_1-u_1v_3 \\ u_1v_2 - u_2v_1 \end{bmatrix}$ $

Tenemos

PS

PS

\begin{align} \|u\times v\|^2 &= (u_2v_3 - u_3v_2)^2 + (u_3v_1-u_1v_3)^2 + (u_1v_2 - u_2v_1)^2 \\ &= u_2^2v_3^2 - 2u_2u_3v_2v_3 + u_3^2v_2^2 + u_3^2v_1^2 - 2u_1u_3v_1v_3 + u_1^2v_3^2 + u_1^2v_2^2 - 2u_1u_2v_1v_2 + u_2^2v_1^2 \\ &= u_1^2(v_2^2 + v_3^2) + u_2^2(v_1^2 + v_3^2) + u_3^2(v_1^2 + v_2^2) - 2u_2u_3v_2v_3 - 2u_1u_3v_1v_3 - 2u_1u_2v_1v_2 \\ &= u_1^2(1-v_1^2) + u_2^2(1 -v_2^2) + u_3^2(1-v_3^2) - 2u_2u_3v_2v_3 - 2u_1u_3v_1v_3 - 2u_1u_2v_1v_2 \\ &= (u_1^2+u_2^2+u_3^2) - (u_1^2v_1^2 + u_2^2v_2^2+u_3^2v_3^2 + 2u_1u_2v_1v_2 + 2u_1u_3v_1v_3 + 2u_2u_3v_2v_3)\\ &= \|u\|^2 - \langle u,v\rangle ^2\\ &= 1 \end{align}

así que$$\langle u, u \times v\rangle = u_1u_2v_3 - u_1u_3v_2 + u_2u_3v_1 - u_1u_2v_3 + u_1u_3v_2 - u_2u_3v_1 = 0$ es una base ortonormal para$$\langle v, u \times v\rangle = u_2v_1v_3 - u_3v_1v_2 + u_2v_1v_2 - u_1v_2v_3 + u_1v_2v_3 - u_2v_1v_3 = 0$.