Muestre que$\mathrm{gcd}(x+4,x-4)$ divide$8$ para todos los enteros$x$.

Question

Quiero probar que$\mathrm{gcd}(x-4,x+4)$ divide$8$ para todos$x\in \mathbb{Z}$

Ya que ambos son polinomios de grado$1$, sugiere que el$\mathrm{gcd}$ es una constante.

Al usar el algoritmo euclídeo, obtengo:$(x+4) = 1(x-4) + 8$, así que$\mathrm{gcd}(x-4,x+4)=\mathrm{gcd}(x-4,8)$, por lo tanto, siempre se dividirá$8$.

¿Es este el enfoque / uso correcto de EA para polinomios?

Gracias.

Answer 1

Su enfoque es correcto. Otra forma de probarlo es la siguiente: $$ d \ mid x-4 \ text {y} d \ mid x +4 \ implica d \ mid (x +4) - (x-4) = 8. $$