Definición de convergencia de una secuencia espectral.

Question

En Notas de la Conferencia en Topología Algebraica por Davis & Kirk, en la página 241, de ahí que está escrito:

¿Qué $E^\infty$ $\lim_{r\to\infty}E^r_{p,q}$ significa? Si una secuencia espectral no es el primer cuadrante, y es no acotada (cada diagonal tener sólo finitely distinto de cero módulos), tales como la Leray-Serre-Atiyah-Hirzebruch espectral de la secuencia, cómo es la convergencia definido? No debería condición 1 ser escrito de manera que obtenemos un isomorfismo $E^r_{p,q}\cong E^{r+1}_{p,q}$, en lugar de sólo una surjection?

Answer 1

$E^{\infty}$ es de la cuadrícula de módulos (sin flechas entre ellos). La única condición que se debe satisfacer es que los elementos a lo largo de la diagonal $E_{p,n-p}$ (del total de la suma /peso $n$) debe ser calificado de piezas de algunos de filtración de una $A$-módulo.

La expresión $E^{\infty}_{p,q}=\lim_{r \rightarrow \infty} E^{r}_{p,q}$ significa que por la condición 1, para cada $(p,q)$ el módulo de $E_{p,q}^{r}$ estabiliza (se vuelve idéntico) después de un número finito de $r$'s. El valor de $E^{\infty}_{p,q}$ (módulo sentado en la posición $(p,q)$ en la red) es que la estabilidad de la limitación de módulo.

En espectral de la secuencia de idioma: $$E^{r+1}_{p,q} = \ker(d^{r}_{p,q}: E^{r}_{p,q} \rightarrow E^{r}_{p+r, q-r+1})/ \operatorname{im}(d^{r}_{p-r,q+r-1}: E^{r}_{p-r,q+r-1} \rightarrow E^{r}_{p,q}).$$ Now vanishing of $d^{r}_{p,q}$ depends only on $(p,q)$ so you can only claim surjection and not isomorphism. But that is not a problem because increasing $r_{0}$ (which you are allowed to do ) you will get the isomorphism, but that $r_{0}$ no tienes una descripción de la condición (1) anterior.

No estoy seguro de lo que quieres decir por Leray espectral de la secuencia no se limita, sin embargo, una secuencia espectral no tiene que convergen (y normalmente es inútil).

Answer 2

Mi profesor me dijo que$\lim_{n\to\infty}E_{p,n-p}^r$ significa el límite directo del sistema directo de módulos$(E_{p,n-p}^r)_{r=r_0}^\infty$ y los homomorfismos de proyección cociente$E_{p,n-p}^r\rightarrow E_{p,n-p}^{r+1}$, que existe según la condición 1.

Además, para una secuencia espectral del primer y cuarto cuadrante (como la secuencia espectral de Leray-Serre-Atiyah-Hirzebruch), la condición 1 siempre se cumple, ya que para% fijo$p$ y$q$, el homomorfismo$d^r:E_{p,q}^r \rightarrow E_{p-r,q+r-1}^r$ será$0$ lo suficientemente grande$r$, porque si$r > p$, entonces$p-r<0$ y$E_{p-r,q+r-1}^r=0$.