Sólo mi sensación: un "barrio" de un punto de $x$ es intuitivamente una bola de algunos radio en $x$, e/pero con un potencial adicional cosas más lejos que nos interesa.
Esto es raro, pero "resulta ser útil". Es curiosamente difícil decir por qué no llegar a ser matemáticamente útil para permitir que las bolas de radio algo" para ser extrapolados a las bolas de radio de algo, además de cosas más lejos", pero, ... bueno, ... la historia? :)
Siguiente: ruta de acceso conectado-ness? Bien, por lo general este no es momento...
En referencia a una fuente, tales como G-e-T, sería importa si usted se refiere a la _physical_space_ (en el que algunas de las funciones en vivo), o/versus topológico, espacio vectorial de las funciones en ese espacio. De cualquier manera, me inclino a pensar que el "camino-conectividad", probablemente no es la cuestión esencial...
Si tuviera que apostar un dólar, sería hacia el interrogador aclarar si su necesidad de una aclaración sobre el espacio físico en el que sus funciones (para satisfacer algunas de PDE, y así sucesivamente) en vivo, o es sobre el espacio vectorial topológico en el que sus funciones en vivo.
Que es, sospecho que hay "antes" cuestiones...
Edit: Dado más comentarios, etc, se hace evidente que algunas cosas no están claras, a saber, el contemporáneo defn de "barrio" no incluye cualquier tipo de afirmación sobre la ruta de acceso-conexión. Sin embargo, en muy buen espacios (localmente Euclídeo, por ejemplo), cada barrio incluye una ruta de acceso conectado a barrio, de hecho. Por lo tanto, en algunos contextos, los escritores quieren construir-en la ruta de conexión a la palabra "barrio", de modo que ellos no dicen, literalmente, las cosas falsas en la discusión de trayectoria-conectado barrios, pero no tiene que repetir la ruta "conectados" todo el tiempo.
Por lo tanto, parece que la pregunta es sobre el uso, no se trata acerca de la ruta de acceso-conexión en sí, ni sobre la definición de "barrio"?
