¿Por qué hay tantas propiedades universales en las matemáticas?

Question

No entiendo muy bien por qué hay tantas propiedades universales en las matemáticas ni por qué hay que destacarlas todas.

Por ejemplo, ahora mismo estoy estudiando algo de álgebra. He encontrado tres propiedades universales que básicamente dicen lo mismo, aunque los detalles son diferentes:

Propiedad universal 1 : Si $R, S$ son anillos y $\theta: R \to S$ es un mapa anular, entonces para cada $s \in S$ hay un mapa único $\hat{\theta_{s}} : R[x] \to S$ de manera que si $i: R \to R[x]$ es el mapa de inclusión, obtenemos $\theta = \hat{\theta_{s}} \circ i$ .

Propiedad universal 2 : Si $D$ es un dominio integral y $F$ es un campo con $\phi : D \to F$ un mapa de anillo uno a uno, entonces hay un único mapa $\hat{\phi} : Q(D) \to F$ tal que $\hat{\phi} \circ \pi = \phi$ , donde $\pi : D \to Q(D)$ envía $a$ a $\frac{a}{1}$ ( $Q(D)$ el campo fraccionario de $D$ ).

Propiedad universal dos se utilizó para demostrar que en un campo de característica $0$ los racionales son un subcampo, y en un campo de característica $p$ ( $p$ primo), $\mathbb{Z}_{p}$ es un subcampo.

Propiedad universal 3 : Si $R, S$ son anillos, $\phi: R \to S$ es un mapa de anillos, y $I$ es un ideal tal que $I \subseteq \text{ker}(\phi)$ entonces existe un único mapa $\overline{\phi} : R/I \to S$ tal que $\phi = \overline{\phi} \circ i$ donde $i: R \to R/I$ mapas $a$ a $\overline{a}$ .

Me resulta muy difícil seguir la pista de todas estas propiedades universales, sobre todo cuando todas ellas suelen llevar el mismo nombre de "propiedad universal". ¿Tienen sentido todas estas propiedades universales?

Sinceramente, ni siquiera sé si mi pregunta es clara, o cómo hacer una pregunta mejor en este sentido.

Answer 1

A propiedad universal de algún objeto $A$ te dice algo sobre el functor $\hom(A,-)$ (o $\hom(-,A)$ pero esto es sólo dual). Por ejemplo, $\hom(R[x],S) \cong |S| \times \hom(R,S)$ es la propiedad universal del anillo polinómico (donde $|S|$ denota el conjunto subyacente de $S$ ). A la inversa, podemos considerar el functor que toma un anillo conmutativo $S$ a $|S| \times \hom(R,S)$ y decir que es un functor representable representado por $R[x]$ . Esto también puede interpretarse como la afirmación de que $R[x]$ es el conmutativo libre $R$ -en un generador, véase objeto libre para las generalizaciones categóricas. A grandes rasgos, representar un functor significa dar un ejemplo universal de, o clasificar, las cosas que el functor describe. Esto ocurre siempre en las matemáticas. A la inversa, cuando se tiene un objeto $A$ es interesante preguntarse qué es lo que clasifica, es decir, observar $\hom(A,-)$ y dar una descripción más concisa de la misma. El Lemma de Yoneda le dice que toda la información de $A$ ya está codificado en $\hom(A,-)$ .

Además, una de las principales ideas de la teoría de categorías es que es muy útil trabajar con morfismos en lugar de elementos. Por ejemplo, lo que el anillo cociente $R/I$ no es realmente que podamos calcular con cosets, sino que es la solución universal al problema de ampliar $R$ de alguna manera para matar (los elementos de) $I$ . En otras palabras, $\hom(R/I,S) \cong \{f \in \hom(R,S) : f|_I = 0\}$ . Esto hace que cosas como $(R/I)/(J/I) = R/J$ para $I \subseteq J \subseteq R$ realmente trivial : En el lado izquierdo, primero matamos $I$ y luego $J$ que es lo mismo que matar $J$ directamente, lo que ocurre en el lado derecho. No es necesario hacer cálculos de elementos. (En math.stackexchange he publicado muchos ejemplos de este tipo de razonamiento). Los anillos cotizados, los espacios vectoriales cotizados, los espacios cotizados, etc. son todos casos especiales de colímetros .

La propiedad universal del campo de las fracciones establece que $\hom(Q(D),F) \cong \hom(D,F)$ donde en el lado derecho nos referimos a homomorfismos inyectivos. Esto dice que $Q(-)$ es adjunto izquierdo al funtor de olvido de campos a dominios integrales (en cada caso con homomorfismos inyectivos como morfismos). Este es un caso especial de localizaciones . Las adjunciones son omnipresentes en las matemáticas modernas. Nos permiten "aproximar" objetos de una categoría por objetos de otra categoría.

Hasta ahora sólo he mencionado algunos patrones de propiedades universales, pero no he respondido a la pregunta "filosófica" real " Por qué ¿hay tantas propiedades universales en las matemáticas?" en el título. Bueno, en primer lugar, son útiles, como se ha explicado anteriormente. También hay que tener en cuenta que muchos objetos de interés resultan ser cocientes de objetos universales. Por ejemplo, todo objeto generado finitamente $k$ -es un cociente de un álgebra polinómica $k[x_1,\dotsc,x_n]$ . Por lo tanto, si entendemos esta álgebra polinómica y sus propiedades, podemos obtener alguna información sobre todas las $k$ -algebras. Un ejemplo concreto de este tipo es el Teorema de la Base de Hilbert, que implica que las álgebras generadas finitamente sobre campos son noeterianas. Tal vez se pueda decir: Los objetos universales están ahí porque los hemos inventado para poder estudiar todos los objetos.

Answer 2

En cualquier momento $X$ satisface una propiedad universal, significa que el inventor de $X$ eligió bien (y no arbitrariamente) cómo definir $X$ .

Así que supongo que la respuesta literal sería "Porque la gente te habla de buenas matemáticas".

Answer 3

Yo tenía la misma pregunta cuando aprendía álgebra con el libro de Álgebra de Grillet (GTM 242). En aquel momento, entendí cómo podía definir conceptos (es decir, productos tensoriales, productos libres y grupos libres, etc.) con la propiedad universal (UP), cómo los mapas se factorizan entre sí, y cómo el objeto definido es el "más general de todos". Sin embargo, no vi cómo la UP es importante en otros contextos (cocientes en topología/grupos en particular) aunque Grillet enunció un montón de teoremas en UP, ya que me pareció que es a lo sumo una descripción elegante con diagramas conmutativos. Y sí, estoy de acuerdo contigo cuando dices que "me resulta muy difícil seguir la pista a todas estas UP".

Sin embargo, ahora que he aprendido más, he descubierto que UP es una herramienta muy útil cuando te dan un mapa $f: X \rightarrow Y$ y está tratando de encontrar un mapa correspondiente de $\tilde{f}: \tilde{X} \rightarrow Y$ , donde $\tilde{X}$ es un objeto que has construido a partir de $X$ con el mapa $\phi : X \rightarrow \tilde{X}$ . Mientras $\tilde{X}$ y $f$ se comporta bien (es decir, satisface la hipótesis de UP), se puede obtener un único $\tilde{f}$ con buenas propiedades similares que $f$ posee. Y lo que es mejor, tienes la posibilidad de recorrer el mapa desde $X \rightarrow \tilde{X}$ .

Esta idea puede sonar a cliché, ya que las pruebas de UP suelen implicar construcciones de $\tilde{f}$ inducido por $f$ de la manera más obvia. Pero en muchos temas más avanzados, estamos definiendo el $\tilde{X}$ (algunos de los cuales parecían muy desordenados) de espacios intuitivos como $X$ mientras que nosotros sólo conocemos los mapas de $X \rightarrow Y$ . Con la propiedad universal, no es necesario indicar explícitamente qué $\tilde{f}$ es y simplemente reconocer su existencia y singularidad, y esto es extremadamente útil si usted está haciendo malabares con ambos espacios y tratando de construir tales mapas un par de veces en una prueba. Me di cuenta de esto cuando estaba aprendiendo topología algebraica y demostrando la equivalencia homotópica de un espacio con su espacio cociente (bajo ciertas condiciones), y fue entonces cuando me di cuenta de repente del poder de la propiedad universal en la topología cociente.

Una última nota sobre "la dificultad de seguir la pista a todas las UP": No creo que sea necesario recordar realmente los enunciados de todas las UP's, porque mientras sepas cómo $\tilde{f}$ se construye, usted podría recordar fácilmente la UP cuando la necesite. Está bien que te parezca inútil cuando te encuentres con afirmaciones como ésta por primera vez, pero ten en cuenta que la UP tendrá mucha más importancia a medida que aprendas más matemáticas.