Una función inyectiva continua$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ está aumentando o disminuyendo estrictamente.

Question

Me gustaría probar la declaración en el título.

Prueba: probamos que si$f$ no disminuye estrictamente, entonces debe aumentar estrictamente. Así que supongamos que$x < y$.

Y eso es todo lo lejos que he llegado. Se agradecerá la ayuda.

Answer 1

Probar el contrapositivo lugar: si $f$ no es estrictamente creciente y estrictamente decreciente, entonces es no-one-to-one.

Por ejemplo, decir que hay puntos de $a\lt b\lt c$ tal que $f(a)\lt f(b)$$f(b)\gt f(c)$. Cualquiera de las $f(a)=f(c)$ (en cuyo caso $f$ no es uno-a-uno) o $f(a)\lt f(c)$ o $f(c)\lt f(a)$.

Si $f(a)\lt f(c)\lt f(b)$, luego por el Teorema del Valor Intermedio, existe $d\in (a,b)$ tal que $f(d)=f(c)$; por lo tanto $f$ no es uno-a-uno.

Ahora, hay otras posibilidades (he hecho algunos supuestos a lo largo del camino, y usted debe comprobar cuáles son las alternativas son si no se cumplen).

Answer 2

Considere$g\colon \{(x,y)\mid x<y\}\mapsto\mathbb R$, definido por$g(x,y):=f(x)-f(y)$. Claramente$g$ es continuo. Como el dominio de$g$ está conectado y$g$ no tiene ceros, la imagen de$g$ es un intervalo que no contiene$0$.

Answer 3

Supongamos que$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es continuo y no aumenta estrictamente. Luego existen dos puntos tales que$f(a) = f(b)$, o existen tres puntos$a < b < c$ tales que$f(a) < f(b)$ y$f(b) < f(c)$. El primer caso contradice la inyectividad. Supongamos que el segundo, sin pérdida de generalidad, supone que$f(b) - f(a) \leq f(c) - f(b)$. Entonces $f(b) \leq f(b) - (f(b) - f(a)) = f(a) \leq f(c)$. Por el teorema del valor intermedio, existe$d$ tal que$b < d < c$ tal que$f(d)= f(a)$. Esto contradice la inyectividad.