El cilindro (de radio unitario, para simplificar) se obtiene a partir de la franja infinita $S = \{z\in \mathbb C: |\operatorname{Im}z|<\pi \}$ identificando sus lados. Lo que necesitas es la función de Neumann Green para $S$ (es decir, con derivada normal nula en $\partial S$ ), ya que permanecerá armónico después de pegar los lados. Y para encontrar esta función, se pueden utilizar mapas conformes: bajo un mapa conforme, la derivada normal se multiplica por un factor positivo.
En el semiplano derecho $P$ la función de Green de Neumann con polo en $1$ es $$u(z)= -\frac{1}{2\pi} \log|(z-1)(z+1)| = -\frac{1}{2\pi} \log| z^2-1|$$ (compárese con $ -\frac{1}{2\pi} \log\frac{|z-1|}{|z+1|}$ para la condición de Dirichlet). El mapa exponencial $z\mapsto \exp(z/2)$ envía $S$ en $P$ . Por lo tanto, $$-\frac{1}{2\pi} \log|e^z-1|$$ hace el trabajo en $S$ (con poste en $0$ ). Sin embargo, la falta de simetría izquierda-derecha es molesta. Es mejor promediar esta función con su reflejo $-\frac{1}{2\pi} \log|e^{-z}-1|$ llegando así a $$g(z,0) = -\frac{1}{4\pi} \log|(e^z-1)(e^{-z}-1)| = -\frac{1}{4\pi} \log|2 - 2 \cosh z| $$
Esto se parece a lo que esperabas, si te imaginas $y=\pm \pi$ que se pegan entre sí:
![Green]()
Por cierto: a medida que el radio del cilindro se reduce a $0$ (equivalentemente, adoptamos una visión a gran escala de la función anterior), nos acercamos a la función de Green unidimensional, que puede escribirse como un múltiplo de $-|x|$ (en la forma original, no simétrica, tendríamos un múltiplo de $\min(0,-x)$ en su lugar).
