Usted puede saber ya, pero usted puede encontrar un excelente relato de la Mecánica de Lagrange en los colectores en el libro de Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica por V. Arnold.
También para atender específicamente a tu pregunta:
$L:TM \rightarrow \mathbb{R}$
de modo que $L$ es una 1-forma; es decir $L \in \Omega^1 M$ que es necesario para integrar
a través de una trayectoria de $q$ considera como curva, un 1 dimensiones múltiples:
$q:I \rightarrow J \subseteq M$.
Esta parte no es normalmente cierto, considerar, por ejemplo, la libre de Lagrange (evaluada en un punto de $p$ como una función $L_p : T_pM \to\mathbb{R}$) $L_p(v) = <v,v>_p$. Este definitivamente no es lineal en $v$, la cual es necesaria para una 1-forma. (Aquí < , > es cierta métrica de Riemann en el colector).
También puede ser que el conjunto trazada por la curva no es una submanifold, esto ocurre en el caso de una auto-intersección de la curva.
Usted no necesita tener una 1-forma para integrar sobre la curva. Desde $L$ es una función de $TM \to \mathbb{R}$, para una curva diferenciable $\gamma : [a,b] \to M$ la composición: $L_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t))$ es una función de $[a,b] \to \mathbb{R}$ más de los que uno se puede integrar.
Definición de una acción $S$ $S[\gamma(t)]=\int_a^b L_{\gamma(t)}(\dot \gamma(t))\, dt$ se puede recuperar la antigua ecuaciones de movimiento bajo la condición de que $S$ es extremal para una ruta de acceso física: Por la elección de cualquiera de coordenadas del gráfico de $\phi$ en un subconjunto $U \subseteq M$, hay un inducida por el conjunto de coordenadas en $TU \subseteq TM$ dada por
$\tilde \phi (p,v) = (\{\phi(p)^i\},\{v_i\})$ donde $v=\sum_i v_i\, v(\phi(p)^i) \equiv \sum_i v_i \frac{\partial}{\partial\phi^i}$
En estas coordenadas $L$ obtiene la antigua forma de una función de $L(q,q')$ actuar sobre dos tuplas de números y, a continuación, el correo.o.m. $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial q'}- \frac{\partial L}{\partial q} =0$ son recuperados.
