Fase dependiente de la trayectoria en la mecánica cuántica

Question

En los tratamientos elementales de la mecánica cuántica, se nos enseña que la función de onda de una sola partícula tiene valor complejo ( $\Psi : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{C}$ ). En particular, la función de onda tiene una fase definida en cada punto (hasta una redefinición global de la fase).

Sin embargo, también he visto referencias (véase la cita del artículo de Dirac en la nota a pie de página) a la idea de que sólo están bien definidas las diferencias de fase dependientes de la trayectoria entre puntos. Es decir, $\Psi$ en realidad debe considerarse como una sección de un conjunto de $\mathbb{C}$ en $\mathbb{R}^3$ . El artículo de la wikipedia sobre el efecto Aharonov-Bohm hace referencia a esta idea ( http://en.wikipedia.org/wiki/Aharonov%E2%80%93Bohm_effect#Mathematical_interpretation ), pero no puedo decir si es algo físicamente nuevo.

$\bf{Question:}$ ¿Existen consecuencias físicas para $\Psi$ siendo una sección en lugar de una función regular, o es sólo una conveniencia matemática? En otras palabras, ¿hay algún fenómeno medido (por tanto, excluyendo los monopolos magnéticos) que nos obligue a ver $\Psi$ como una sección?

$\bf{Footnote:}$ "Podemos suponer que $\gamma$ La fase de la función de onda no tiene un valor definido en un punto concreto, sino sólo una diferencia de valores definida para dos puntos cualesquiera. [...] Para dos puntos distantes habrá entonces una diferencia de fase definida sólo en relación con alguna curva que los una y diferentes curvas darán en general diferentes diferencias de fase." -Dirac's 1931's paper ( http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/133/821/60 )

EDIT: Otro artículo que hace referencia a esta idea es el de R. Jackiw "(Constrained) Quantization Without Tears" ( http://arxiv.org/abs/hep-th/9306075 ). El potencial vectorial magnético $a_i$ en la mecánica cuántica no relativista (véase la ecuación 16(b)) se denomina forma única de conexión en el apéndice.

Answer 1

La razón por la que Dirac dice esto es: cada predicción que hace la QM es una especie de valor de expectativa calculado en la notación moderna como $\langle \Psi|\hat A|\Psi\rangle$ ; una rotación de fase de $|\Psi\rangle \mapsto e^{i\theta} |\Psi\rangle$ por lo tanto, asigna todas estas predicciones a $e^{-i\theta} e^{i\theta} \langle \Psi|\hat A|\Psi\rangle = \langle \Psi|\hat A|\Psi\rangle.$

Su argumento es esencialmente, "bueno, ya que sólo las diferencias de fase importan en la teoría normal, se puede imaginar que estamos viendo las fases objetivas $\gamma$ cuando se supone que estamos viendo las diferencias de fase $\nabla \gamma$ Así que imaginemos que los miramos directamente, integrándolos desde un punto de partida para obtener una diferencia de fase total. Suponiendo que $\gamma$ existe, por tanto, es suponer que nuestro nuevo campo de fases es conservador, y que toda diferencia es independiente de la trayectoria. Pero, ¿existe una forma más débil de esta suposición que podamos utilizar? Sí: podemos insistir en que todas las funciones de onda recogen exactamente la misma fase "extra" de un camino sobre otro camino, de modo que cada bucle cerrado tiene la misma diferencia de fase para cada función de onda. Necesitamos esto porque $\hat A$ puede considerarse como una suma de funciones propias escaladas $\int da ~a~|a\rangle\langle a|,$ por lo que siempre obtendríamos $\langle a|$ conseguir un poco de fase extra $e^{-i~\Delta\gamma}$ que coinciden exactamente $|a\rangle$ conseguir un poco de fase extra $e^{+i~\Delta\gamma}$ y luego nuestros observables $\hat A$ no cambian y $\langle \Psi|\hat A|\Psi\rangle$ tampoco, así que todo es invariable".

Answer 2

Permítanme intentar una respuesta, basada en los comentarios de Timaeus y ACuriousMind..

Respuesta: No, no hay nada que nos obligue a ver la mecánica cuántica no relativista como una $U(1)$ teoría gauge. Es una forma elegante y equivalente de ver algunas situaciones como el efecto Aharanov-Bohm.

Con más detalle: Podríamos tratar el efecto Aharanov-Bohm de la forma habitual y elemental, con $\Psi$ como una función definida en todo el espacio, incluyendo el flujo magnético. Alternativamente, si sólo estamos interesados en la región fuera del flujo magnético, podemos ver $\Psi$ como una sección, con el flujo magnético manifestándose como curvatura. Esto parece paralelo a la distinción hecha en la respuesta de Olaf a una pregunta sobre la cuantización restringida ( Mecánica cuántica en una matriz ); es decir, tenemos un punto de vista "extrínseco" que puede describir todo el espacio, incluida la región del flujo magnético, y un punto de vista "intrínseco" que sólo puede describir la región fuera del flujo.