Si$D$ es una derivación de un Álgebra de Lie, y$D X = \lambda X$$\Rightarrow$$\text{ad}(X)$% es nilpotent

Question

Estoy muy atascado en este ejercicio, alguien me puede ayudar o darme algunos consejos?

Ejercicio: Vamos a $\mathfrak{g}$ ser finito dimensionales Mentira Álgebra (a través de un campo de característica cero), $D: \mathfrak{g}\a \mathfrak{g}$ a derivation and $X \in \mathfrak{g}$, tal que $D(X) = \lambda X$ ( $\lambda \neq 0$ ). A continuación, $\text{ad}(X)$ es nilpotent.

---

Yo sólo podía concluir que $\text{tr}(\text{ad}(X)^2) =0$. De hecho, si $\langle \cdot,\cdot \rangle$ es la forma de Matar, entonces

$$\langle X,X \rangle= \frac{1}{\lambda} \langle D X, X \rangle=\frac{-1}{\lambda} \langle X, DX \rangle = - \langle X, X \rangle,$$ sigue ese $\langle X,X \rangle = 0$, y por lo tanto $\text{tr}(\text{ad}(X)^2) = 0.$ sin Embargo, este resultado no me va a dar una conclusión útil.

Answer 1

Teniendo en cuenta que $\text{ad}(DX)=[D,\text{ad}(X)]$, una vez

$$\text{ad}(DX)(Y) = [DX,Y] = D[X,Y] - [X,DY] = [D,\text{ad}(X)](Y).$$

Entonces

$$\lambda \text{ad}(X) = \text{ad}(D X) = [D,\text{ad}(X)] \Rightarrow \text{tr}(\text{ad} (X)) = 0.$$

Por otra parte,

$$\begin{align*} \lambda\text{ad}(X)^{n+1} &= \left(\lambda \text{ad}(X)\right) \cdot \text{ad}(X)^{n} \\ &= [D, \text{ad}(X)] \cdot \text{ad}(X)^n\\ &= D \text{ad}(X)^{n+1} - \text{ad}(X) D \ \text{ad}(X)^n, \end{align*}$$ así $\text{tr}(\text{ad}(X)^{n+1}) =0$, $\forall$ $n$ $\in$ $\mathbb{N}$, y, en consecuencia, $\text{ad}(X)$ es nilpotent, porque si $\text{tr}(A^n)=0$ para todos los enteros positivos $n$, $A$ es nilpotent.

---

Información De La Bonificación

Otro enfoque interesante es que podemos, por primera teorema de descomposición, escribir $\mathfrak{g}$

$$\mathfrak{g} = \mathfrak{g}_{\lambda_1}\oplus \mathfrak{g}_{\lambda_2}\oplus ...\oplus \ \mathfrak{g}_{\lambda_n},$$ donde $\mathfrak{g}_{\lambda_i} = \{X \in \mathfrak{g};$ existe $n\in \mathbb{N}$, de tal manera que $(D-\lambda_i I)^n X = 0 \}.$ una Vez $D$ es una derivación es posible demostrar que

$$[\mathfrak{g}_{\lambda_i}, \mathfrak{g}_{\lambda_j}]\subset \mathfrak{g}_{\lambda_i +\lambda_j},$$

donde $\mathfrak{g}_{\lambda_i +\lambda_j}=\{0\}$ si $\lambda_i +\lambda_j$ no es un autovalor de a $D$. Por lo tanto, para cualquier $Y$ $\in$ $\mathfrak{g}$ $\Rightarrow$ $Y$ $\in$ $\mathfrak{g}_{\lambda_Y}$, para algunos $\lambda_Y$, lo que implica que $$\text{ad}(X)^k (Y) = [X, [X,...,[X,Y] ...] \in \mathfrak{g}_{k \lambda + \lambda_Y},$$

una vez, sólo hay un número finito de valores propios de a$D$$\lambda \neq 0$, existe alguna $k \in \mathbb{N}$, lo suficientemente grande, de tal manera que $\text{ad}(X)^k Y=0$, $\forall\ Y \in \mathfrak{g}$, mostrando que $\text{ad}(X)$ es nilpotent operador lineal.

Con similar argumentación, podemos demostrar que si $D$ una invertible derivación, a continuación, $\text{ad}(X)$ es nilpotent para todos los $X\in \mathfrak{g}$ (debido a que todos los autovalores son distintos de $0$, entonces, si $X$ $\in$ $\mathfrak{g}_{\lambda_i}$ $\Rightarrow$ $\text{ad}(X)^{k} Y$ $\in$ $\mathfrak{g}_{ k \lambda_i + \lambda_Y}$ ), y, en consecuencia, $\mathfrak{g}$ es nilpotent (teorema de Engel).