Permita que$F = F(A)$ sea un grupo libre, y que$f : A \rightarrow G$ sea una función establecida desde el conjunto$A$ a un grupo conmutativo$G$, y donde$[F,F]$ es el Subgrupo de F generado por todos los elementos de la forma$aba^{-1}b^{-1}$. Creo que eso es lo que comúnmente se conoce como el subgrupo de conmutadores.
Demuestre que$f$ induce un homomorfismo único$F/[F, F] \rightarrow G$ y concluya que$F/[F, F] \cong Fab(A)$.
Consejos:
== En cualquier grupo$\;G\;$, el cociente$\;G/[G:G]\;$ es abeliano, y el subgrupo de conmutadores$\;[G:G]\;$ se caracteriza por ser el mínimo de dicho subgrupo, lo que significa que si$\;N\lhd F\;$ es st$\,G/N\;$ es abelian y luego$\,[G:G]\le N\;$.
== La propiedad universal de grupos libres nos dice que cualquier función de conjunto$\,A\to G\;$, con$\;G\;$ un grupo, puede extenderse de forma única a un grupo de homomorfismo$\;F(A)\to G\;$.
Resuelva lo anterior, que por cierto se puede encontrar en cualquier libro de teoría de grupos decente.
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