Grupo fundamental del complemento de$3$ de hipersuperficies disjuntas en$\mathbb{C}P^2$

Question

Deje$X$ sea la unión de$3$ #% en hipersuperficies% #%, a continuación, cómo calcular el$\mathbb{C}P^2$?

Lo que sé es que el complemento de una hipersuperficie en $\pi_1(\mathbb{C}P^2\setminus X)$ es $\mathbb{C}P^2$ . No puedo ir mas lejos

Answer 1

En las líneas de @MoisheKohan después de un cambio de coordenadas, se puede asumir uno de sus hypersurfaces es $H_3=\{[z_1:z_2:z_3]\in \mathbb C\mathbb P^2 | \ z_3= 0 \}$

$ \mathbb C \mathbb P^2-H_3\cong\mathbb C^2$

Por lo que se reduce al cálculo de $\pi_1(\mathbb C^2-l_1\cup l_2)$ donde $l_1, \ l_2$ son dos complejos de líneas rectas. De nuevo después de un cambio de coordenadas, se puede asumir $l_1=\{(z_1,z_2)\in \mathbb C^2 :z_1=0\}$ e $l_2=\{(z_1,z_2)\in \mathbb C^2 :z_2=0\}$

Entonces usted tiene $\mathbb C^2 -l_1\cup l_2=\mathbb C^*\times \mathbb C^*$

Así que usted consigue $$\pi_1(\mathbb C^2-l_1\cup l_2)=\pi_1(\mathbb C^*)\times \pi_1(\mathbb C^*)=\mathbb Z^2$$

Por lo tanto $$\pi_1(\mathbb C\mathbb P^2-H_1\cup H_2 \cup H_3)=\mathbb Z^2$$