¿Espacio de cobertura universal de la línea proyectiva real?

Question

Estoy pensando acerca de universal que cubre los espacios. He visto un montón de ejemplos y autores dicen "la esfera de $S^n$ es el universal que cubre el espacio de la $n$-dimensional espacio proyectivo $\mathbb{R}P^n$ para $n \geq 1$.

Así que mi pregunta es: ¿y qué acerca de la real proyectiva de la línea de $\mathbb{R}P^1$? Ha universal que cubre el espacio?

Gracias!

Answer 1

$\mathbb{R}P^1$ es homeomorfo a $\mathbb{S}^1$ . Para ver esto, primero tenga en cuenta que, en general, $\mathbb{R}P^n\simeq\mathbb{S}^n/_{\pm id}$ y en el caso $n=1$ tiene $ \mathbb{S}^1/_{\pm id}\simeq \mathbb{S}^1$ (solo factorice el mapa $z\mapsto z^2$ ).

Desde aquí puedes concluir.

Answer 2

La línea proyectiva real es solo un círculo, por lo que el espacio de cobertura universal es la línea real.