Área debajo de la curva$y=\left[\sqrt{2+2\cos2x}\right]$

Question

Encontrar el área debajo de la curva de $y=[\sqrt{2+2\cos2x}]$ y por encima de la $x$-eje , $x\in [-3\pi,6\pi]$, (donde $[.]$ denota el mayor entero de la función) .

Mi planteamiento:

$$y=[\sqrt{2+2\cos2x}]$$ $$=[\sqrt{2+2(2\cos^2x-1}]$$ $$=[\sqrt{2+4\cos^2x-2}]$$ $$=[|2\cos x|]$$

Después de esto, no sé cómo solucionarlo y cómo encontrar el área.

Answer 1

$$0\le 2|\cos{x}|\le 2\implies [2|\cos{x}|]\in[0,1,2]$$

La función de $[2|\cos{x}|]$ es discontinuo para aquellos valores de x que hacen que el 2, pero esos son solo puntos de discontinuidad removible y no van a afectar a la integración de las propiedades de esta función. Así, la zona se encuentra entre los valores de $0$ e $1$. Por lo tanto, necesitamos encontrar el valor de x (simplemente encontrar un solo valor, el resto del problema se va a tomar el cuidado de la simetría y la repetición) que sirve como límite entre los valores que están por encima de los 1 y los valores que están por debajo del 1:

$$ 2\cos{x}=1\implica x=\frac{\pi}{3} $$

El uso de la simetría y el hecho de que el área es sólo un montón de rectángulos que son los mismos, tenemos las siguientes:

$$ \int_{-3\pi}^{6\pi}\sqrt{2+2\cos(2x)}\,dx= \int_{-3\pi}^{6\pi}[|2\cos{x}|]\,dx= 18\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\,dx=6\pi\ sq.\ unidades. $$

Answer 2

Los valores de $y$ se $0,\,1,\,2$. El último de estos se logra sólo en una medida-$0$ conjunto irrelevante para la integración. Por lo tanto $\int_{-3\pi}^{6\pi}ydx$ es la suma de las longitudes de los intervalos en que $y\ge 1$ (es decir, $|\cos x|\ge\frac12$). Con respecto a $[-3\pi,\,6\pi]$, el complemento de estos intervalos de' la unión es la unión de los intervalos sobre los cuales $\cos x$ bijects de $\pm\frac12$ a $\mp\frac12$. Hay nueve intervalos, $\left(k\pi-\frac{8\pi}{3},\,k\pi-\frac{7\pi}{3}\right)$ por entero $k$ de $0$ a $8$ incluido. Como su longitud total es de $9\times\frac{\pi}{3}=3\pi$, el tratado de integral es $9\pi-3\pi=6\pi$.