Esto es cierto, también, por la siguiente razón:
Como ya ha demostrado que existe una muy convergentes larga, vamos a decir $ Tu_{n_k} \to u^* $$ k \to \infty $. A continuación, por la debilidad de la convergencia de $ u_n \rightharpoonup u $ usted obtiene inmediatamente que $ Tu_n \rightharpoonup Tu $.
Ahora bien, desde una fuerte convergencia implica la debilidad de la convergencia y de la unicidad del límite de una débil convergente de la secuencia debe ser verdad que
$ u^*= Tu $.
Por lo tanto, $ Tu $ es un punto límite de la secuencia de $ (Tu_n)_{n \in \mathbb{N}} $.
Ahora sólo hay una cosa a la izquierda para demostrar su estado de cuenta
Reclamo: no Hay ningún otro punto límite, por lo tanto debe ser el límite.
Prueba: Supongamos que existe otro punto límite $ z $ de la secuencia de $ (Tu_n)_{n \in \mathbb{N}} $. De nuevo, debe haber una larga $ (Tu_{n_m})_{m \in \mathbb{N}} $ convergentes a $ z $. Por lo tanto, esta subsequence $ u_{n_m} \rightharpoonup u$.
El último paso, el uso de la misma argumentación que arriba a la conclusión de que la $ z = Tu = u^*$.
Por lo tanto,$ Tu_n \to Tu $$ n\to \infty $.
Para ser precisos, en este punto, usted sabe que
$ Tu_{n_k} \to Tu $ , y que el límite de $ Tu $ es el único punto límite de $ (Tu_n)_{n\in \mathbb{N}} $. Utilizar ahora una contradicción en el argumento para probar que el $ Tu_n\to Tu $.
