Operador compacto mapas débilmente convergentes secuencias en secuencias fuertemente convergentes

Question

He encontrado la siguiente propiedad de los operadores compactos en una prueba, y yo no puedo probarlo.

Probar que si $T \in \mathcal{L}(E,F)$ es compacto, y si $u_n \rightharpoonup u$ (la secuencia converge débilmente a$u$$\sigma(E,E^*)$), a continuación, $Tu_n \to Tu$ fuertemente en $F$.

Yo era capaz de demostrar que $Tu_n$ tiene un convergentes larga ($u_n \rightharpoonup u$ implica que el $(u_n)$ está delimitado en $E$. Luego, debido a que $T$ es compacto, se debe seguir ese $(Tu_n)$ debe contener algunos convergentes larga), pero no consiguió finalizar la prueba.

Cualquier referencia o sugerencias son bienvenidos.

Answer 1

Hacer uso del siguiente lema topológico.

Lemma Que $X$ ser un espacio topológico y una secuencia de elementos de $\mathbf{x}=(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ $X$. Si cada subsequence de $\mathbf{x}$ contiene un subsequence convergente a $x$ y $x_n \to x$.

Answer 2

Esto es cierto, también, por la siguiente razón:

Como ya ha demostrado que existe una muy convergentes larga, vamos a decir $Tu_{n_k} \to u^*$$k \to \infty$. A continuación, por la debilidad de la convergencia de $u_n \rightharpoonup u$ usted obtiene inmediatamente que $Tu_n \rightharpoonup Tu$. Ahora bien, desde una fuerte convergencia implica la debilidad de la convergencia y de la unicidad del límite de una débil convergente de la secuencia debe ser verdad que

$u^*= Tu$.

Por lo tanto, $Tu$ es un punto límite de la secuencia de $(Tu_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Ahora sólo hay una cosa a la izquierda para demostrar su estado de cuenta

Reclamo: no Hay ningún otro punto límite, por lo tanto debe ser el límite.

Prueba: Supongamos que existe otro punto límite $z$ de la secuencia de $(Tu_n)_{n \in \mathbb{N}}$. De nuevo, debe haber una larga $(Tu_{n_m})_{m \in \mathbb{N}}$ convergentes a $z$. Por lo tanto, esta subsequence $u_{n_m} \rightharpoonup u$. El último paso, el uso de la misma argumentación que arriba a la conclusión de que la $z = Tu = u^*$.

Por lo tanto,$Tu_n \to Tu$$n\to \infty$.

Para ser precisos, en este punto, usted sabe que

$Tu_{n_k} \to Tu$ , y que el límite de $Tu$ es el único punto límite de $(Tu_n)_{n\in \mathbb{N}}$. Utilizar ahora una contradicción en el argumento para probar que el $Tu_n\to Tu$.