Encontrar el límite de $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \cos{(\frac{n+k}{n^2})}$

Question

Hola me vendría muy bien un poco de ayuda con esta pregunta de los deberes.

$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \cos{\left(\frac{n+k}{n^2}\right)}$$

No tengo ni idea de cómo solucionarlo (aún no hemos aprendido frases sobre series...)

Mis intentos:

He trazado la función y parece que el límite es $0$ .

He intentado encontrar un límite a esta serie de Cosinus sin éxito (creo que puede ser no limitada pero no estoy seguro).

También he intentado utilizar la identidad de la suma de ángulos: $$\cos\left(\frac{n+k}{n^2}\right) = \cos\left(\frac{1}{n} + \frac{k}{n^2}\right) = \cos\left(\frac{1}{n}\right)\cos\left(\frac{k}{n^2}\right) - \sin\left(\frac{1}{n}\right)\sin\left(\frac{k}{n^2}\right)$$ pero no conduce a nada...

¿Cómo puedo plantear una pregunta como ésta? No veo que pueda acotarla trivialmente o utilizar reglas aritméticas...

Answer 1

Sugerencia : Si $1 \le k \le n$ entonces tenemos $$\cos\left(\dfrac{2}{n}\right) \le \cos\left(\dfrac{n+k}{n^2}\right) \le 1.$$ Por lo tanto, $$\dfrac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}\cos\left(\dfrac{2}{n}\right) \le \dfrac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}\cos\left(\dfrac{n+k}{n^2}\right) \le \dfrac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}1,$$ es decir $$\cos\left(\dfrac{2}{n}\right) \le \dfrac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}\cos\left(\dfrac{n+k}{n^2}\right) \le 1.$$ ¿Puedes averiguar el límite a partir de aquí?