Problema de Monty Hall-Probabilidad Paradoja

Question

Acabo de conocer el Problema de Monty Hall y me ha parecido bastante sorprendente.Sólo estoy un poco confundido con él.

Según el problema, estamos en un programa de juegos y se nos da a elegir entre tres puertas: Detrás de una de ellas hay un coche y detrás de las otras hay cabras. Empezamos eligiendo una de las puertas. Después de nuestra elección, el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, nos revela una de las otras dos puertas que tiene una cabra. Ahora se nos pregunta si queremos cambiar de opinión o quedarnos con nuestra elección inicial.

Según las probabilidades, si no cambiamos y mantenemos nuestra primera selección, obtenemos $(1/3)$ $33.3\%$ posibilidad de ganar el coche ya que la eliminación de la puerta que fue abierta por el anfitrión no afecta a la probabilidad de que nuestra puerta tenga el coche que queda $33.3\%$ como en el problema inicial.

Por otro lado, si cambiamos la puerta por la otra izquierda, entonces obtenemos $(2/3)$ $66.6\%$ posibilidades de ganar el coche ya que sólo quedan dos puertas y el hecho de que el anfitrión revelara una cabra en una de las puertas no elegidas no cambiaba nada la probabilidad inicial de que nuestra puerta tuviera el coche.

Hasta este punto tiene bastante sentido para mí.

Pero ¿qué pasa si tenemos un hombre en el público que hace una elección inicial diferente en su cabeza? Por ejemplo, digamos que el concursante eligió la puerta número $1$ y eligió el número de la puerta $2$ . Si el número de la puerta $3$ es la puerta que está siendo revelada por el anfitrión (tiene una cabra) entonces ambas puertas $1$ y $2$ permanecer en el juego. Para el número de puerta del concursante $2$ tiene $66.6\%$ posibilidades de tener el coche cuando para el hombre en el número de la puerta del público $1$ tiene $66.6\%$ posibilidades de tener el coche. ¿No es extraño? Desde dos perspectivas diferentes obtenemos dos probabilidades diferentes sobre las mismas puertas sin abrir. ¿Cómo es posible?

Answer 1

La gran diferencia entre los dos escenarios es que Monty evita deliberadamente elegir la puerta que eligió el concursante, pero ni siquiera es consciente de lo que eligió el hombre del público, así que eso no influye en su decisión.

Hagamos las cuentas explícitamente. Supongamos (como usted dice) que el concursante elige $1$ el miembro del público elige $2$ , y Monty abre $3$ . El miembro del público sabe que Monty estaba eligiendo entre las puertas $2$ y $3$ y no podía abrir la puerta $1$ . Así, el espectador sabe, al igual que el concursante, que Monty se vio obligado a evitar la puerta $1$ pero eligió evitar $2$ también. Esa selección deliberada es la prueba de que el premio está detrás de la puerta $2$ Así, el miembro del público razona exactamente igual que el concursante y concluye que debe mantener su voto mental original.

Como otra variante similar del problema, suponga que el propio Monty no tiene ni idea de dónde está el premio, por lo que se limita a elegir entre las puertas no seleccionadas uniformemente al azar (posiblemente exponiendo el premio, en cuyo caso el juego termina). En ese caso, convénzase de que no tiene ningún valor cambiar.

Answer 2

La respuesta de lulu es perfectamente correcta, pero quería mostrar una forma alternativa (frecuentista) de llegar al mismo resultado. Para problemas muy pequeños, como Monty Hall, a menudo es posible Sólo hay que enumerar todo el espacio de la muestra:

1. Coche, Cabra, Cabra.
2. Cabra, coche, cabra.
3. Cabra, Cabra, Coche.

Cada una de ellas es igualmente probable, por lo que todas tienen 1/3 de probabilidad. Hasta aquí, todo muy sencillo.

Supongamos, como antes, que el concursante elige la puerta nº 1, el miembro del público elige la puerta nº 2 y Monty abre la puerta nº 3. Entonces, traduciendo nuestros casos en resultados:

1. Monty abre la puerta #2 o la puerta #3 (1/3 de probabilidad). Suponiendo que elija una al azar:
   1. Monty abre la puerta #2 (1/6 de probabilidad).
   2. Monty abre la puerta #3 (1/6 de probabilidad).
2. Monty abre la puerta #3 (1/3 de probabilidad).
3. Monty abre la puerta #2 (1/3 de probabilidad).

He tachado los casos en los que Monty abre la puerta nº 2, ya que asumimos que esos casos no se dan. Eso elimina los casos (3) y (1.1), dejándonos con los casos (1.2) y (2). Según las probabilidades indicadas anteriormente, el caso (2) es dos veces más probable que el caso (1.2), lo que significa que es dos veces más probable que el coche esté detrás de la puerta 2 que de la puerta 1. Estas probabilidades son "objetivas" (frecuentista), por lo que tanto el concursante como el espectador llegan a los mismos números mediante el mismo proceso de razonamiento.

Sin embargo, añadimos un supuesto. Asumimos que Monty elige una puerta para abrir al azar en el caso (1). Si (por ejemplo) Monty siempre elige la puerta de la derecha (con el número mayor), entonces podría parecer que esta lógica ya no se cumple. Pero no es así. Si Monty siempre elige la puerta de la derecha, entonces las puertas ya no son simétricas, y ahora tenemos que tener en cuenta los casos en los que el concursante y el miembro del público seleccionan puertas diferentes. Cuando se hace esto, recuperamos el mismo resultado.

Answer 3

(Corregido por solución inicial incorrecta).

No es correcto que abrir una puerta no cambie la probabilidad de lo que hay detrás de las otras puertas. Los cálculos de probabilidad requieren la suposición de una determinada distribución de probabilidad. Tu probabilidad de 1/3 antes de que se abra ninguna puerta se basa en asumir una distribución aleatoria de un coche detrás de tres puertas. Si asumes que el anfitrión siempre iba a abrir una puerta con una cabra, entonces la probabilidad de que tu elección inicial fuera correcta sigue siendo de 1/3, lo que significa que tienes una probabilidad de 2/3 de acertar si cambias ya que ahora sólo queda una puerta.

No confunda la elección del espectador con su probabilidad para esa elección. Al igual que tú, el miembro del público habría asignado 1/3 de probabilidad a cada puerta antes de abrir, incluida la que él eligió, pero cambiaría su cálculo de probabilidad al mismo tiempo que tú y acabaría con la misma respuesta que tú. Al fin y al cabo, si el anfitrión hubiera elegido la puerta del espectador para abrir, la probabilidad del espectador para esa puerta caería a 0, y también la tuya.

En realidad, es peor que esto. En el problema de Monty Hall está la suposición de que el anfitrión siempre iba a abrir una de las puertas. Sin embargo, no hay nada en el enunciado del problema que diga esto. Sólo se describe lo que ocurrió sin describir lo que el anfitrión PLANEÓ que ocurriera. Es posible que el anfitrión sólo hubiera abierto otra puerta si el coche estuviera detrás de tu primera elección, y de lo contrario se hubiera limitado a abrir la puerta que acabas de elegir y te dice: "Enhorabuena por tu nueva cabra". En este caso, cambiar te da un 0% de posibilidades de conseguir el coche, y no cambiar te da un 100%. En el mundo real, esto es lo que haría un estafador, y este tipo de comportamiento es también la base de ciertos trucos de magia en los que el miembro del público elige una carta oculta mediante conjeturas aparentemente aleatorias.

En resumen: No se puede resolver el problema de Monty Hall sin especificar el comportamiento previsto del anfitrión. La mayoría de las presentaciones del problema sólo especifican lo que el anfitrión hace para el espectáculo al que se asiste sin garantizar que el anfitrión siempre abrirá otra puerta. Todo esto vuelve al principio de que los cálculos de probabilidad se basan en una determinada distribución de probabilidad asumida, y esa suposición cambia en función de la información que se tenga.

Answer 4

Ese es el truco inicial. Aquí te engañan haciéndote creer que la tercera cortina/puerta no importa, ya que aparentemente está "eliminada" de la ecuación. Esto es una ilusión y pretende engañarte para que creas que la 3ª cortina no importa. Usted TIENE que considerar la tercera cortina también. ¿Por qué? Porque usted hizo su elección antes de que la tercera cortina fuera eliminada. Sólo sería una verdadera probabilidad de 50/50 si esta tercera cortina fuera eliminada ANTES de que usted hiciera su elección y no después.

Para verlo más fácilmente, basta con exagerar las cifras hasta el extremo. Supongamos que tienes 1000 puertas y sólo una tiene el premio. Las posibilidades de elegir la puerta correcta serían extremadamente pequeñas, ¿verdad? Ok, eliges una puerta y después, el anfitrión elimina 998 puertas, dejando la puerta que elegiste y una segunda puerta. Ahora, dime si crees que es probable que tu elección inicial sea la puerta correcta elegida entre 1000 puertas. Seguro que no sería el 50%.

Answer 5

En el programa de juegos conducido por Monty Hall en la vida real, después de que un concursante eligiera una puerta, ocurría una de estas cuatro cosas (hasta donde yo sé, las cuatro han ocurrido en el programa real):

1. Monty puede revelar que el concursante eligió la puerta correcta y gana.

2. Monty puede revelar que el concursante eligió la puerta equivocada y pierde.

3. Monty puede abrir una puerta que no contenga el premio y ofrece al concursante la posibilidad de cambiar de la puerta correcta a la otra puerta equivocada.

4. Monty puede abrir una puerta que no contenga el premio y ofrece al concursante la posibilidad de cambiar de la puerta equivocada restante a la puerta correcta.

Si el concursante comienza eligiendo la puerta correcta, sólo pueden ocurrir los números 1 y 3. Si el concursante comienza eligiendo la puerta equivocada, sólo pueden ocurrir el #2 y el #4. La probabilidad combinada de #1 y #3 será, por tanto, de 1/3 y la probabilidad combinada de #2 y #4 será de 2/3. La "paradoja" supone que las probabilidades del nº 1 y del nº 2 son nulas, lo que implica que el nº 4 es el doble que el nº 3, pero esa versión del juego no coincide con el programa real de Monty Hall.

Desde el punto de vista de un miembro del público que elige una puerta arbitraria sin que Monty Hall o el concursante lo sepan, son posibles los mismos resultados, aunque a menos que la elección del miembro del público coincida con la del concursante, las probabilidades de los resultados pueden ser diferentes. Esas probabilidades se ven afectadas por la motivación del anfitrión, pero de diferentes maneras. Si el presentador sólo ofrece a un jugador la oportunidad de cambiar si el jugador ha acertado inicialmente, entonces la elección de un miembro del público que no coincida con la del concursante nunca será correcta cuando el jugador tenga la oportunidad de cambiar. Por otro lado, si el presentador sólo ofrece a un jugador la oportunidad de cambiar si la suposición inicial era incorrecta, entonces cualquier suposición de un miembro del público que no coincida con la puerta elegida por el concursante ni revelada vacía por el presentador debe contener el premio.

En la forma "clásica", en la que nunca se dan los números 1 y 2, un miembro del público cuya elección no coincida con el concursante tendrá un 50% de posibilidades de que se revele que está vacío. Si eso no ocurre, el miembro del público tendrá una probabilidad de 2/3 de acertar con la suposición inicial.