¿Cómo podemos encontrar la máxima de cualquier función discreta, dicen
$$ f(n)=\frac{(n+1)^2}{2^n},\quad n\in \mathbb{N} $$
que no es el PDF de cualquier distribución? (Esta pregunta no está relacionada con las estadísticas.)
Mediante la generación de observaciones, se puede obtener el máximo para ser $9/4$ cuando $n=2$. Sin embargo, otros menos riguroso de los métodos de uso de las desigualdades dar a los pobres estimaciones para este punto máximo.
Enfoque Equivocado 1 (Binomio De Expansión):
$$2^n = (1+1)^n\ge \begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}\implies \frac{(1+n)^2}{(1+1)^n}\le \frac{2(1+n)^2}{n(n-1)}=\frac{2\left(1+\frac{1}{n} \right)^2}{1-\frac{1}{n}}\le 2 \quad(n\to \infty )$$
Enfoque Equivocado 2 (Desigualdad De Bernoulli):
$$ 2^n=(1+1)^n\ge 1+n(1)\implica \frac{(1+n)^2}{(1+1)^n}\le\frac{(1+n)^2}{1+n}=1+n\to \infty \quad (n\to \infty ) $$
¿Cómo podemos encontrar el exacto punto máximo? Si tratamos de diferenciar con respecto a $n$, podemos obtener $n\approx 1.88$, entonces podemos tratar de $n=1$ e $n=2$, pero la diferenciación es sólo el enfoque equivocado para una función discreta.
