Demostrar que $BD$ biseca $\angle ABC$

Question

Dado que $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo isósceles con $AC=BC$ y ángulo $ACB=90°$ . $D$ es un punto en $AC$ y $E$ está en la extensión de $BD$ tal que $AE$ es perpendicular a $BE$ . Si $AE=\frac{1}{2}BD$ demuestre que BD es bisectriz del ángulo $\angle ABC$ .

He intentado probar el triángulo $\triangle AEB$ y triángulo $\triangle DCB$ similar pero no puede hacerlo. Después de perseguir algunos ángulos, llegué al resultado de que de alguna manera si pruebo el ángulo $\angle CDB$ ser $67.5°$ entonces podría demostrarse. Pero no lo hice.

Answer 1

Una solución geométrica sencilla:

Prolongar BC y AE para que se corten en F. Los triángulos AFC y BDC son semejantes. El lado CB del triángulo BDC es igual al lado AC del triángulo AFC, esto resulta en que otros lados de AFC y BDC son iguales incluyendo AF y BD y tenemos $AE=\frac {1}{2}DB=\frac {1}{2}AF$ . Pero AE también es perpendicular a BE, es decir, BE es la altura de ABE y el triángulo ABF es isósceles y su altura BE biseca el ángulo $ <ABC$ .

Answer 2

Consulte la figura:

$\hspace{2cm}$

Por semejanza de triángulos $\Delta ADE$ y $\Delta BCD$ (los ángulos correspondientes son iguales): $$\frac{x}{y}=\frac{y-z}{2x} \Rightarrow 2x^2=y^2-zy \ \ (1)$$ Desde la derecha $\Delta BCD$ : $$z^2+y^2=(2x)^2 \ \ (2)$$ Ahora sustituye $(1)$ a $(2)$ : $$z^2+y^2=2(y^2-zy) \Rightarrow \\ (y-z)^2=2z^2 \Rightarrow \\ y-z=z\sqrt{2} \Rightarrow \\ \frac{y-z}{z}=\frac{y\sqrt{2}}{y},$$ lo que es consistente con el teorema de la bisectriz del ángulo.

Answer 3

Sea $M$ sea el punto medio de $BD$ y $G$ , $F$ sean proyecciones de $M$ , $E$ en $AC$ respectivamente.

En primer lugar, observe que $\angle GMD = \angle DAE = 90^\circ -\angle ADE$ .

Ahora $\triangle MGD$ y $\triangle AFE$ son congruentes ya que son triángulos rectángulos con igual hipotenusa ( $MD=AE$ ) y un par de ángulos iguales. Así que $$FA = MG = BC/2 = AC/2.$$ Así $F$ es el punto medio de $AC$ y $AE = EC$ . Desde $E$ se encuentra en la circunferencia de $\triangle ABC$ se deduce que $E$ es el punto medio del arco $AC$ . Por lo tanto, $BE$ es la bisectriz angular de $\angle ABC$ .